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Considere o triangulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triangulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima?

Olá mariaduarte.Observe a solução:
[tex3]\leadsto[/tex3] Aplicando Semelhança de Triângulos entre [tex3]\triangle_{ABC}[/tex3] e [tex3]\triangle_{ACD}[/tex3], teremos:

[tex3]\frac{MN}{BC}=\frac{h_{\triangle_{AMN}} }{h_{\triangle_{ABC}}}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{6}=\frac{(5-y)}{5}[/tex3]
[tex3]5x=6(5-y)[/tex3]
[tex3]\boxed{y=\frac{5}{6}(6-x)}[/tex3]

[tex3]\leadsto[/tex3] A área do retângulo será [tex3]A=x.y[/tex3].Será máxima para um valor máximo das medidas.

[tex3]A=x.y[/tex3]
[tex3]A=x.\left(\frac{5}{6}(6-x)\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{A=\frac{-5x^{2}}{6}+5x}[/tex3]

[tex3]\leadsto[/tex3] O resultado é uma função quadrática, com concavidade para baixo, ou seja, que possui um ponto de máximo.Este ponto é o vértice da parábola.
Substituindo e calculando a abscissa do vértice, temos:

[tex3]x_{v}=\frac{-b}{2a}[/tex3]
[tex3]x_{v}=\frac{-5}{2.\left(\frac{-5}{6}\right)}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{x_{v}=3}}[/tex3]

Logo, [tex3]y=\frac{5}{6}(6-x)[/tex3]
[tex3]y=\frac{5}{6}(6-3)[/tex3]
[tex3]y=\frac{5}{6}(2)[/tex3]
[tex3]\boxed{y_{v}=\frac{5}{3}}[/tex3]

A área será máxima se as dimensões ocupadas forem [tex3]x=3[/tex3] e [tex3]y=\frac{5}{3}[/tex3].

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Qual o valor de [tex3]x[/tex3], em cm, para que a área do retângulo seja máxima?

Resposta: [tex3]3[/tex3].

IPC: Observe que em um triângulo podem existir retângulos inscritos em até três posições diferentes, com um lado do retângulo sobre um lado diferente do triângulo.Qualquer que seja a posição, a maior área do retângulo inscrito que se pode obter é a metade da área do triângulo.

obrigada

Marcos escreveu: 12 Jan 2017, 11:22 Olá mariaduarte.Observe a solução:

área máxima do retângulo.png

...

Logo, [tex3]y=\frac{5}{6}(6-x)[/tex3]
[tex3]y=\frac{5}{6}(6-3)[/tex3]
[tex3]y=\frac{5}{6}(2)[/tex3]
[tex3]\boxed{y_{v}=\frac{5}{3}}[/tex3]

A área será máxima se as dimensões ocupadas forem [tex3]x=3[/tex3] e [tex3]y=\frac{5}{3}[/tex3].

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Qual o valor de [tex3]x[/tex3], em cm, para que a área do retângulo seja máxima?

Resposta: [tex3]3[/tex3].

só pra corrigir:
Logo, [tex3]y=\frac{5}{6}(6-x)[/tex3]
[tex3]y=\frac{5}{6}(6-3)[/tex3]
[tex3]y=\frac{5}{6}(3)[/tex3]
[tex3]\boxed{y_{v}=\frac{5}{2}}[/tex3]