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Considere a curva definida por σ(t)=(1+2ln(1+t), 1+[tex3](1+t)^{2}[/tex3]), t>-1.

a) Determine uma equação da reta tangente à curva no ponto (1,2).
b) Dê uma equação cartesiana da curva.

[tex3]\begin{cases}
x(t)=1+2\ln (t+1) \\
y(t)=1+(t+1)^2
\end{cases}[/tex3]

no ponto (1,2) (ou seja, t=0) o coef. angular da reta tangente é:

[tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2(t+1)}{2/(t+1)}=(t+1)^2=1[/tex3]

reta tangente nesse ponto:

[tex3]y-y_0=1\cdot (x-x_0) \\\\ y-2=x-1 \\\\ \boxed{y=x+1}[/tex3]

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Eq. cartesiana: isolar t. Podemos expressar t(x) e jogar em y(t):

[tex3]x=1+2\ln (t+1) \\\\ \therefore \,\,\,t=-1+\exp\left(\frac{x-1}{2}\right)[/tex3]

jogando em y(t):

[tex3]y=1+(t+1)^2=1+\left[\exp\left(\frac{x-1}{2}\right)\right]^2=\boxed{1+\exp(x-1)}[/tex3]