Ensino Superior ⇒ Pontos máximos e mínimos Tópico resolvido

[juremilda]

Um pedaço de fio com 10 m de comprimento é cortado em duas partes. uma parte é dobrada no formato de um quadrado e a outra é dobrada em triangulo equilátero. como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja máxima? e mínima?

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

O esboço das informações é :

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Cada lado do quadrado vale x/4 , pois o tamanho do fio x é dividido pelos quatro lados, e o triângulo usa a mesma lógica. A altura do triângulo possui esse valor por conta da propriedade geométrica que nos diz que

h = ( l√3 )/2

O autor está pedindo a área total máxima e mínima dessas figuras , então;

A = ( x/4 )^2 + [ ( 10 - x )/3 ].[ ( 10 - x )/3 ].[ ( √3 )/2 ].( 1/2 )

A = ( x²/16 ) + [ ( √3 )/36 ].( 10 - x )^2 , 0 ≤ x ≤ 10

O limite imposto a x entre zero(0) e dez(10) é por conta do tamanho do fio.

Como A está dependendo apenas de uma variável , já é possível derivar e igualar a zero para encontrar seus valores extremos :

A'( x ) = ( x/8 ) - [ ( √3 )/18 ].( 10 - x ) = 0

A'( x ) = ( x/8 ) - [ ( 10√3 )/18 ] + [ ( x√3 )/18 ] = 0

A'( x ) = ( 9x/72 ) + [ ( 4x√3 )/72 ] - [ ( 40√3 )/72 ] = 0

A'( x ) = ( 9 + 4√3 ).x - 40√3 = 0

x = ( 40√3 )/( 9 + 4√3 )


Como x pode variar entre zero(0) e dez(10) , substituímos esses dois valores além do x encontrado para achar seus valores extremos e encontrar os pontos máximos e mínimos:

Para x = 0 :

A( 0 ) = ( 100√3 )/36 = ( 25√3 )/9

A( 0 ) ≈ 4,81.


Para x = 10 :

A( 10 ) = 100/16

A( 10 ) = 6,25.


A( ( 40√3 )/( 9 + 4√3 ) ) ≈ 4,35.


Portanto , a área máxima encontrada acontece quando x = 10, e vale 6,25 , ou seja , toda a corda é usada para o quadrado. Já a área mínima encontrada acontece quando x = ( 40√3 )/( 9 + 4√3 ) , e vale 4,35.


Excelente estudo!