Olimpíadas ⇒ (Wisconsin-94) Tópico resolvido

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Assuma que AÔB é um ângulo reto . Determine uma fórmula para a área do triângulo AOD em termos de comprimentos OA= a , OB= b, OC=C , OD=d e BC= x,(gabarito=( (ad)/(4bc) ).(b² +c² -x²).

[RafaeldeLima]

Para facilitação chamemos:

[tex3]\alpha = A\hat OD \\[/tex3]

[tex3]\beta = C\hat OB[/tex3]

E segundo o enunciado:

[tex3]\alpha + \beta = 90^{\circ}[/tex3]

Cuja consequência direta é:

[tex3]\sen \ \alpha = \cos \ \beta[/tex3]

A área (S) do triângulo [tex3]AOD[/tex3] pode ser calculada como sendo a base*altura/2,
que equivale à expressão:

[tex3]S = \frac{a\cdot d}{2}\cdot \sen \alpha[/tex3]

Utilizando a lei dos cossenos para o ângulo [tex3]C\hat OB[/tex3]:

[tex3]x^{2} = b^{2} + c^{2} - 2\cdot b\cdot c\cdot \cos \beta[/tex3]

E portanto:

[tex3]\cos \beta = \frac{b^{2} + c^{2}-x^{2}}{2\cdot b\cdot c}[/tex3]

Como [tex3]\sen \ \alpha = \cos \ \beta[/tex3]:

[tex3]S = \frac{a\cdot d}{2}\(\frac{b^{2} + c^{2}-x^{2}}{2bc}\)[/tex3]

[tex3]\boxed{S = \frac{ad}{4bc}\cdot (b^{2} + c^{2}-x^{2})}[/tex3]

[geobson]

RafaeldeLima, obrigado!