IME / ITA ⇒ (ITA - 1993) Progressão Aritmética x Progressão Geométrica Tópico resolvido

[Cinthia]

A soma dos [tex3]5[/tex3] primeiros termos de uma progressão aritmética de razão [tex3]r[/tex3] é [tex3]50[/tex3] e a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita de raão [tex3]q[/tex3] é [tex3]12.[/tex3] Se ambas as progressões tiverem o mesmo termo inicial menor do que [tex3]10[/tex3] e sabendo-se que [tex3]q=r^2,[/tex3] podemos afirmar que a soma dos quatro primeiros termos da progressão geométrica será:

a) [tex3]\frac{623}{11}[/tex3]
b) [tex3]\frac{129}{32}[/tex3]
c) [tex3]\frac{35}{2}[/tex3]
d [tex3]\frac{765}{64}[/tex3]
e) [tex3]13[/tex3]

Alguem pode me ajudar, por favor?

[fabit]

Colocando naquela notação (x-2r,x-r,x,x+r,x+2r), somando e igualando a 50, fica x=10.

Então é (10-2r,10-r,10,10+r,10+2r) a PA. Isso é com r positivo porque 10-2r é menor que 10.

Quanto à PG, temos [tex3]\frac{10-2r}{1-r^2}=12[/tex3] ([tex3]r\neq\pm1[/tex3]). Essa equação embute o resto das informações do enunciado.

Continuando, [tex3]5-r=6(1-r^2)\Rightarrow6r^2-r-1=0[/tex3].

[tex3]\Delta=1-4.6.(-1)=25[/tex3]. Aí [tex3]r=\frac{1\pm5}{12}[/tex3]. [tex3]r\gt0\Rightarrow r=\frac{1}{2}\Rightarrow q=\frac{1}{4}[/tex3]. Além disso, 10-2r=9.

Então os quatro primeiros termos da PG são 9, 9/4, 9/16 e 9/64, cuja soma é

[tex3]\frac{9+36+144+576}{64}=\frac{765}{64}[/tex3]

Letra D