Ensino Médio ⇒ Circunferências Tangentes Tópico resolvido

[geobson]

(Noruega-91) Duas circunferências são tangentes externas e tangenciam a reta L nos pontos A e B. A reta AP intersecta a outra circunferencia em C. Prove que BC è perpendicular à reta L.

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]O[/tex3] o centro da circunferência menor
[tex3]O'[/tex3] o centro da circunferência maior

obviamente [tex3]OPO'[/tex3] são alinhados uma vez que [tex3]P[/tex3] é o ponto de tangencia das duas circunferências

os triângulos [tex3]AOP[/tex3] e [tex3]CO'P[/tex3] são semelhantes uma vez que ambos são isósceles AO=AP = r e O'C = O'P = R
e possuem ângulo [tex3]O'PC = OPA[/tex3] já que são opostos pelo vértice
seja [tex3]\alpha = OPA[/tex3] então [tex3]PO'C = 190 - 2\alpha[/tex3] porém [tex3]BO'P = 2\alpha[/tex3] logo o ângulo
[tex3]CO'B = 180 - 2\alpha + 2\alpha = 180[/tex3] e então [tex3]C,O',B[/tex3] estão alinhados como AB é tangente à circunferência maior então a reta BO' = CB é perpendicular à reta AB

[geobson]

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