IME / ITA ⇒ (AFA - 1994) Inequação Exponencial Tópico resolvido

[barbarahass]

O conjunto solução da inequação [tex3]2^{2x+2}-(0,75)2^{x+2} \lt 1[/tex3] é:

a) [tex3]\lbrace\rbrace[/tex3]
b) [tex3]x \gt 0[/tex3]
c) [tex3]x \lt 0[/tex3]
d) [tex3]{-}\frac{1}{4} \lt x \lt 1[/tex3]
e) [tex3]x \lt 1[/tex3]

.: Fiquei com muita dúvida nessa questão, será que alguém poderia me ajudar?

[fabit]

Você já tinha tentado o caminho "padrão" de mudar variáveis, tipo [tex3]k=2^x[/tex3]?

De qualquer modo, eu vou fazer parecido, mas chamando [tex3]k=2^{x+1}[/tex3]:

[tex3]\{{2^{2x+2}=\(2^{x+1}\)^2=k^2}\\{0,75\cdot 2^{x+2}=0,75\cdot 2\cdot 2^{x+1}=1,5k}[/tex3]

Aí fica [tex3]k^2-1,5k-1<0[/tex3]. Temos [tex3]\triangle =2,25-4\cdot 1\cdot (-1)=6,25=2,5^2\Rightarrow\sqrt{\triangle }=2,5[/tex3]

Como a concavidade da forma [tex3]f(k)[/tex3] é para cima, a parte onde [tex3]f(k)[/tex3] fica [tex3]<0[/tex3] é o intervalo aberto entre as raízes:

• [tex3]\frac{1,5-2,5}{2}<k<\frac{1,5+2,5}{2}\Rightarrow\frac{-1}{2}<k<2[/tex3]

Voltando para [tex3]x:[/tex3]

• [tex3]\frac{-1}{2}<2^{x+1}<2\Rightarrow\frac{-1}{4}<2^x<1\Rightarrow2^{-2}<2^x<2^0[/tex3]

Então [tex3]{-}2<x<0.[/tex3] Obs: o sentido da desigualdade se mantém porque a base [tex3]2[/tex3] das potências é maior do que [tex3]1,[/tex3] o que confere à exponencial correspondente a propriedade de ser crescente. Se fosse uma base entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]1,[/tex3] o sentido da desigualdade inverteria.

[barbarahass]

Nossa, eu não tinha aprendido a fazer desse jeito a equação exponencial, só do jeito convencional, ficou bem mais fácil de entender agora. Muito obrigada mesmo!
Beijos.

[futuromilitar]

Com [tex3]2^{x} = y[/tex3]
[tex3]\Delta[/tex3]=25 e calculando a equação é [tex3]4y^{2}[/tex3]- 3y-1<0 ( y=1 ou y=-[tex3]\frac{1}{4}[/tex3])

confirma? E outra, essa solução não tem nas alternativas.