Pré-Vestibular ⇒ (UFSCAR)- Volume cone e cilindro

[Liliana]

A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro.

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Considerando h como a altura máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é
A) 7 cm.
B) 8 cm.
C) 10 cm.
D) 12 cm.
E) 15 cm.

Resposta

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C

Minha resolução:
Vazeite/Vvinagre= 5
Vvinagre= [tex3]\pi[/tex3] 25 (h-5)1/3
Vazeite= Vcone- Vvinagre
Vazeite= [tex3]\pi[/tex3] 25h- 25 [tex3]\pi[/tex3](h-5)/3
Vazeite= 125 [tex3]\pi[/tex3] h-25 [tex3]\pi[/tex3](h-5)/3
Vazeite/Vvinagre=5
5=125 [tex3]\pi[/tex3] h-25 [tex3]\pi[/tex3](h-5)/ 25 [tex3]\pi[/tex3](h-5)
125 [tex3]\pi[/tex3] h-625 [tex3]\pi[/tex3]=125 [tex3]\pi[/tex3] h-25 [tex3]\pi[/tex3] h+125 [tex3]\pi[/tex3]
h=30 cm, mas nem tem essa alternativa...
Onde estou errando??

[Auto Excluído (ID:17092)]

Olá, Liliana!
Segue uma resolução detalhada:
O enunciado diz que a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o que matematicamente é:
[tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = 5[/tex3] (I)
A partir da figura do enunciado, sabemos que o volume do azeite é:
[tex3]V_{azeite} = V_{cilindro} - V_{cone}[/tex3] => [tex3]V_{azeite} = \pi r^2h- \frac{\pi R^2h^{'}}{3}[/tex3] => [tex3]V_{azeite} = \frac{3\pi r^2h- \pi R^2h^{'}}{3}[/tex3] (II),
onde h = altura do cilindro de azeite, h' = altura do cone, r = raio do cilindro, R = raio do cone.
Já para o volume do vinagre:
[tex3]V_{vinagre} = V_{cone}[/tex3] => [tex3]V_{vinagre} = \frac{\pi R^2h^{'}}{3}[/tex3] (III),
onde R = raio do cone, h' = altura do cone.
1.º) Trabalhando a expressão
O que podemos converter em:
[tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{\frac{3\pi r^2h- \pi R^2h^{'}}{3}}{\frac{\pi R^2h^{'}}{3}}[/tex3] => [tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{3\pi r^2h- \pi R^2h^{'}}{\cancel{3}}\cdot \frac{\cancel{3}}{\pi R^2h^{'}}[/tex3]
Sendo R = r, ou seja, o raio do cone igual ao raio do cilindro:
[tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{3\pi r^2h- \pi R^2h^{'}}{\pi R^2h^{'}}[/tex3] => [tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{3\pi r^2h- \pi r^2h^{'}}{\pi r^2h^{'}}[/tex3]
Podemos colocar em evidência [tex3]\pi r^{2}[/tex3]:
[tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{\cancel{\pi r^2}(3h- h^{'})}{\cancel{\pi r^2}(h^{'})}[/tex3] => [tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{3h-h^{'}}{h^{'}}[/tex3]
Sendo o valor de h' = h - 5:
[tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{3h-h^{'}}{h^{'}}[/tex3] => [tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{3h-(h-5)}{h-5}[/tex3] => [tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{2h + 5}{h-5}[/tex3] (IV)
Com a igualdade (I) e (IV), podemos trabalhar bem facilmente:
[tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{2h + 5}{h-5}[/tex3] => [tex3]\frac{2h + 5}{h-5} = 5[/tex3] => 2h + 5 = 5h - 25 => 3h = 30 => h = 10 cm.
2.º) Trabalhando com os números
Com (II) e (III), podemos substituir em (I):
[tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{\frac{3\pi r^2h- \pi R^2h^{'}}{3}}{\frac{\pi R^2h^{'}}{3}}[/tex3] => [tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{3\pi r^2h- \pi R^2h^{'}}{\cancel{3}}\cdot \frac{\cancel{3}}{\pi R^2h^{'}}[/tex3] => [tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{3\pi r^2h- \pi R^2h^{'}}{\pi R^2h^{'}}[/tex3]
Sendo R = 5cm, r = 5cm, h' = h -5:
[tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{3\pi r^2h- \pi R^2h^{'}}{\pi R^2h^{'}}[/tex3] => [tex3]\frac{V_{azeite}}{V_{vinagre}} = \frac{3\pi 5^2h- \pi 5^2(h-5)}{\pi 5^2(h-5)}[/tex3]
Podemos colocar em evidência o [tex3]\pi5^{2}[/tex3] ou continuar trabalhando com a igualdade... O seu erro, no caso, foi na hora de trabalhar com os números.

Bons estudos!

[Liliana]

Muito obrigada!