Ensino Médio ⇒ (UFU 2000) Números Complexos Tópico resolvido

[brunoafa]

Sejam [tex3]z_{1}[/tex3] e [tex3]z_{2}[/tex3] os dois números complexos de parte imaginária não nula que são soluções da equação [tex3]z^2=\overline{z}[/tex3]. Determine [tex3]z_{1}+z_{2}[/tex3].

[Ittalo25MOD]

[tex3]z = a+bi[/tex3]

[tex3]z^2=\overline{z}[/tex3]
[tex3](a+bi)^2=a-bi[/tex3]
[tex3]a^2-b^2+2abi =a-bi[/tex3]
[tex3]a^2-b^2-a +(2ab+b)\cdot i =0[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
a^2-b^2-a=0 \\
2ab+b=0
\end{cases}[/tex3]

Como [tex3]b \neq 0[/tex3]

[tex3]2ab+b=0\rightarrow a = -\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]a^2-b^2-a=0[/tex3]
[tex3]\frac{1}{4}-b^2+\frac{1}{2}=0[/tex3]
[tex3]b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
z_1 = -\frac{1}{2}+ \frac{i\sqrt{3}}{2} \\
z_2 = -\frac{1}{2}- \frac{i\sqrt{3}}{2}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]z_1+z_2 = -1[/tex3]