Física I ⇒ (UnB - 1995) Órbita Circular Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Julgue o item abaixo.

(1) O período de órbita circular de um asteróide situado na metade da distância entre o Sol e a Terra é maior do que quatro meses terrestres.

[Thales Gheós]

A questão é tratada pela terceira lei de Kepler, ou lei dos períodos, que pode ser deduzida a partir da Lei da Gravitação Universal de Newton:

[tex3]\left\lvert\begin{array}{l}F=\frac{GMm}{d^2}\\M\rightarrow{}Sol\\m\rightarrow {}planeta\end{array}\right.[/tex3]

a força gravitacional é centrípeta: [tex3]F=\frac{mv^2}{d}[/tex3]

[tex3]\frac{GM\cancel{m}}{d^{\cancel{2}}}=\frac{\cancel{m}v^2}{\cancel{d}}\,\rightarrow \,v^2=\frac{GM}{d}[/tex3]

[tex3]v=\frac{2\pi{}d}{T}[/tex3]

[tex3]\frac{4\pi^2d^2}{T^2}=\frac{GM}{d}[/tex3]

[tex3]\frac{T^2}{d^3}=\frac{4\pi^2}{GM}\,\rightarrow {}\boxed{\frac{T^2}{d^3}=K}[/tex3] Terceira Lei de Kepler

[tex3]\frac{T_1^2}{d^3}=\frac{T_2^2}{\(\frac{d}{2}\)^3}[/tex3]

[tex3]\frac{T_1^2}{T_2^2}=8\,\rightarrow \,T_2^2=\frac{T_1^2}{8}\,\rightarrow \,T_2=0,35T_1[/tex3] e como [tex3]T_1=12[/tex3] meses [tex3]T_2=4,2[/tex3] meses