Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial: Cone e Esfera Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Cinco esferas de raios iguais a [tex3]2\sqrt{2}-1\text{cm}[/tex3] são colocados dentro de um cone circular reto de modo que quatro delas são tangentes à base e à superfície lateral do cone e também são tangentes duas a duas. A quinta esfera é tangente à superfície lateral do cone e também às outras quatro esferas.
Considerando [tex3]\pi = 3[/tex3], calcular, em [tex3]\text{cm}^3[/tex3], o volume do cone circular reto descrito acima. Divida o resultado por [tex3]7[/tex3].

Resposta:

---

49.

[triplebig]

Picture 3.png (18.04 KiB) Exibido 1466 vezes

Nota-se que [tex3]\overline{JK}\,=\,\overline{AK}[/tex3]

Pela lei dos cossenos:

[tex3]JK^2\,=\,R^2\,+\,R^2\,-\,2R^2\,\cdot\,\cos{120}\,\,\Longleftrightarrow\,\,JK\,=\,R\sqrt{3}[/tex3]

O raio da circumferência do cone é [tex3]R\sqrt{3}\,+\,R\,=\,R\cdot(\sqrt{3}\,+\,1)[/tex3]

A altura é [tex3]\Large\frac{2R(\sqrt{3}\,+\,1)\sqrt{3}}{2}\large\,=\,R(3\,+\,sqrt{3})[/tex3]

O volume é [tex3]A_B\,\cdot\,h\,\cdot\,\frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]\hspace{50pt}\Large\frac{[\pi R^2\cdot(\sqrt{3}\,+\,1)^2]\,\cdot\,[R(3\,+\,\sqrt{3})]}{3}[/tex3]

[tex3]\hspace{50pt}\Large\frac{3 R^3\,(4\,+\,2\sqrt{3})\,\cdot\,(3\,+\,\sqrt{3})}{3}[/tex3]

Que não conduz ao resultado. Vou pensar mais um pouco e ver se eu fiz algo de errado, se puderem me ajudar agradeço.

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Olhando de cima, a configuração das esferas fica assim:

Figura1.jpg (18.49 KiB) Exibido 1248 vezes

Vamos calcular o comprimento [tex3]AC[/tex3] por pitágoras, sendo que [tex3]AB=BC=2R[/tex3]

[tex3]AC=2R\sqrt 2[/tex3]

Agora vamos ver um corte no cone por um plano perpendicular a base passando por [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3].

Figura2.jpg (19.02 KiB) Exibido 1248 vezes

Sabemos as medidas dos lados do triângulo [tex3]ACO,\, AC=2R\sqrt 2[/tex3] e [tex3]AO=OC=2R[/tex3], o que implica que AOC e PQR são retângulos. Por pitágoras, descobrimos o comprimento [tex3]OW=R\sqrt 2[/tex3].

Note que [tex3]OSRT[/tex3] é um quadrado de lado [tex3]R[/tex3] pois [tex3]PQR[/tex3] é triângulo retângulo e as esferas estão tangentes. Ou seja, podemos concluir que [tex3]OR=R\sqrt 2[/tex3]

O comprimento RU vale o comprimento OW mais um raio mais OR: [tex3]RU=R\(2\sqrt 2+1\)[/tex3]

Agora podemos aplicar semelhança de triângulos nos triângulos ACO e PQR:

[tex3]\frac{PQ}{AC}=\frac{RU}{OW}[/tex3]

[tex3]PQ=2R\(2\sqrt 2+1\)[/tex3]

O volume do cone é dado por [tex3]V=\frac{\pi\(\frac{PQ}{2}\)^2\cdot RU}{3}[/tex3]

[tex3]V=\frac{\cancel{3}\[\frac{\cancel{2}R\(2\sqrt 2+1\)}{\cancel{2}}\]^2\cdot R\(2\sqrt 2+1\)}{\cancel{3}}[/tex3]

[tex3]V=\[R\(2\sqrt 2+1\)\]^3[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]R=2\sqrt 2-1[/tex3]

[tex3]V=\[\(2\sqrt 2-1\)\(2\sqrt 2+1\)\]^3[/tex3]

[tex3]V=7^3=343[/tex3]

Como o enunciado pede pra dividir o resultado por [tex3]7[/tex3] temos como resposta final [tex3]\frac{343}{7}=49[/tex3]