Ensino Médio ⇒ FME IEZZI Equação exponencial

[CadeteGirotto]

[tex3]2^{x+1} + 2^{x-2} - \frac{3}{2^{x-1}} = \frac{30}{2^{x}}[/tex3]

GABARITO:2

[rodBR]

Olá, bom dia.

Vamos a solução:

[tex3]2^{x+1}+2^{x-2}-\frac{3}{2^{x-1}}=\frac{30}{2^{x}}[/tex3]

[tex3]2^{x}\cdot 2+\frac{2^{x}}{2^{2}}-\frac{3}{\frac{2^{x}}{2}}=\frac{30}{2^{x}}[/tex3]
[tex3]2^{x}\cdot 2+\frac{2^{x}}{4}-\frac{6}{2^{x}}=\frac{30}{2^{x}}[/tex3]. Faça [tex3]2^{x}=m[/tex3]:
[tex3]2.m+\frac{m}{4}-\frac{6}{m}=\frac{30}{m}[/tex3]. Para eliminar os denominadores multiplique por [tex3]4m[/tex3]:
[tex3]8.m^{2}+m^{2}-24=120[/tex3]. Isolando a incógnita [tex3]m[/tex3] no primeiro membro, temos:
[tex3]9.m^{2}=144[/tex3]
[tex3]m^{2}=\frac{144}{9}[/tex3]
[tex3]m=\sqrt{16}\rightarrow m=4[/tex3].

Agora vamos voltar para a incógnita [tex3](x)[/tex3] do problema:
[tex3]2^{x}=m[/tex3]
[tex3]2^{x}=4[/tex3]
[tex3]2^{x}=2^{2}\rightarrow x=2[/tex3]

Nota: Sobre potenciação: utilizei as propriedades de produto e divisão de potência de mesma base. Além dessas duas propriedades utilizei uma importante técnica de resolução de problemas na matemática chamada mudança de variável, neste caso fizemos uma mudança de incógnita.

Att>> rodBR.