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Na confecção da raia de tiro para navios da marinha, verificou-se que o alvo ideal seria um retângulo. As dimensões de um retângulo de área máxima com base no eixo e vértices superiores sobre a parábola [tex3]y = 12 - x^2[/tex3] pertencem ao intervalo?

a) [2,5]
b) [0,3]
c) ]3,7]
d) [4,9[
e) [0,6[

Oi, Vivian. Tudo bem com vc?

Sabemos que um retângulo tem a área dada por [tex3]S = xy[/tex3], onde

[tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são as dimensões.

[tex3]y[/tex3] é dado por [tex3]y = 12-x^2[/tex3]

Assim, a área do retângulo será:

[tex3]S = 12x - x^3[/tex3]

As dimensões da área máxima são obtidas fazendo a derivada primeira:

[tex3]S' = 0[/tex3]

[tex3]12 - 3x^2 = 0[/tex3]

[tex3]3x^2 = 12[/tex3]

[tex3]x = 2[/tex3]

Substituindo [tex3]x[/tex3] em [tex3]y = 12 - x^2[/tex3], vem:

[tex3]y = 12 - 4[/tex3]

[tex3]y = 8[/tex3]

Assim, as dimensões do retângulo de área máxima são dadas por [tex3]x = 2[/tex3] e [tex3]y = 8[/tex3], cujo valor é [tex3]S = 16 u.a[/tex3] (aí no enunciado não tem a unidade de medida, se é metro ou comprimento. Considerei somente como unidade de área).
Analisando as alternativas, o intervalo que contém 2 e 8 é [0, 6[.
Resposta: letra E.
Qualquer dúvida, é só postar.

Marcos,

Só não entendi porque 2 e 8 se encontram no intervalo [0, 6[

Vivian

Realmente....... hauahaua... 2 e 8 não tão no intervalo de [0, 6[... mas de qquer jeito nao tem alternativa que possua 2 e 8 no intervalo....

Realmente não tem alternativa correta.
Essa, dentre as opções, é que a fica mais próxima da resposta, segundo minha modestíssima opinião.

Gente, consegui o gabarito desta questão e ele indica como correta a letra D, que é [4,9[.
Não entendo...
Alguém poderia dar uma mão?

Acho que [tex3]S=2xy[/tex3], consderando a base como 2x. Não sei se isso concerta tudo, mas vale a pena conferir.

Abraço

Isso mesmo, Fabit.
Ontem à noite fiz o desenho da situação do problema e realmente era para considerar a base como 2x.
Assim, as dimensões do retângulo são 4(base) e 8 (altura).
O intervalo que contém estas dimensões é a letra d) [4,9[ .
Abração!!