Pré-Vestibular ⇒ (PAS/UnB) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Leia o texto a seguir para responder às questões:

Considere uma reta numérica [tex3]r[/tex3] em que [tex3]O[/tex3] é o ponto de abscissa [tex3]0,[/tex3] [tex3]A[/tex3] é o ponto de abscissa [tex3]+ 1,[/tex3] [tex3]B[/tex3] é o ponto de abscissa [tex3]+ 3[/tex3] e [tex3]M[/tex3] é o ponto de abscissa [tex3]x.[/tex3] Denomina-se distância entre dois pontos da reta o valor absoluto (módulo) da diferença das abscissas desses pontos.
Suponha que, na situação descrita anteriormente, [tex3]O,\ A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] designam pontos de lazer situados em uma das margens de um rio, representada pela reta [tex3]r,[/tex3] e que [tex3]M[/tex3] é o local sobre a margem onde deverá ser instalada a barraca de um visitante . Suponha, ainda, que esse visitante prevê que a cada dia ele fará, sempre em linha reta, os seguintes percursos:

- uma vez de [tex3]M[/tex3] a [tex3]O[/tex3] e uma vez de [tex3]O[/tex3] a [tex3]M;[/tex3]
- uma vez de [tex3]M[/tex3] a [tex3]A[/tex3] e uma vez de [tex3]A[/tex3] a [tex3]M;[/tex3]
- duas vezes de [tex3]M[/tex3] a [tex3]B[/tex3] e duas vezes de [tex3]B[/tex3] a [tex3]M[/tex3].

De acordo com o texto, representando por [tex3]x[/tex3] a abscissa do ponto [tex3]M[/tex3] e por [tex3]f(x)[/tex3] a expressão da função que fornece a distância percorrida diariamente pelo visitante, e supondo que [tex3]1[/tex3] unidade na reta [tex3]r[/tex3] representa [tex3]1\text{km},[/tex3] julgue os itens seguintes.

(1) A distância do ponto [tex3]M[/tex3] ao ponto [tex3]O[/tex3] é igual a [tex3]x,[/tex3] qualquer que seja a localização de [tex3]M.[/tex3]

(2) Se o visitante montar a sua barraca no ponto médio do segmento [tex3]OA,[/tex3] então ele percorrerá diariamente menos de [tex3]10\ \text{km}.[/tex3]

(3) [tex3]f(x) = |8x-14|,[/tex3] para todo [tex3]x \geq 0.[/tex3]

(4) Para [tex3]x < 0[/tex3], [tex3]f[/tex3] é uma função decrescente.


Ainda com relação ao texto e considerando a função [tex3]f[/tex3] definida na questão anterior, julgue o itens que se seguem.

(5) Para que a distância percorrida diariamente pelo visitante seja a mais curta possível, ele poderá instalar sua barraca em qualquer ponto situado entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]B.[/tex3]

(6) Se a barraca do visitante for instalada em um ponto de abscissa negativa, então [tex3]f(x) = f\left(\frac{7}{2}- x\right).[/tex3]

(7) Se outro visitante instalar sua barraca na mesma margem do rio, porém a [tex3]1\ \text{km}[/tex3] de distância da barraca do primeiro visitante, e fizer os mesmos percursos diários, então as distâncias totais percorridas diariamente por eles serão necessariamente distintas.

[emanuel9393MOD]

Olá!
Antes de analisar cada alternativa, podemos escrever [tex3]f(x)[/tex3] como
[tex3]f(x) = |2x| + 2|x-1|+4|x-3|[/tex3]
ou
[tex3]f(x) = \begin{cases}
8x-14 \ \ , \ \ x \geq 3 \\
10 \ \ , \ \ 1 \leq x < 3 \\
-4x + 14 \ \ , \ \ 0 \leq x < 1 \\
-8x + 14 \ \ , \ \ x<0
\end{cases} (I)[/tex3]
Agora vamos analisar o que diz cada alternativa:

01) Errado. Basta observar a expressão [tex3](I)[/tex3].
02) Errado. Pois
[tex3]f(1/2) = -4(1/2) + 14 = 12[/tex3]
03) Errado. Basta observar a equação [tex3](I)[/tex3].
04) Correta. Temos que [tex3]f(x) = -8x+14[/tex3] para [tex3]x<0[/tex3], portanto decrescente.
05) Correta. Se [tex3]x<0[/tex3], temos que [tex3]\frac{7}{2} - x >3[/tex3], logo
[tex3]f\(\frac{7}{2} - x\) = 8 \(\frac{7}{2} - x\) - 14 = -8x+14 = f(x)[/tex3]
06) Errado. Não necessariamente. Basta ver que [tex3]f(2) = f(1) = 10[/tex3]. Na verdade, os dois visitantes terão a mesma distância nessas condições quando a posição de qualquer um deles for [tex3]2[/tex3], haja vista que a posição do outro será ou [tex3]1[/tex3] ou [tex3]3[/tex3].

Bons estudos!