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83.411-Considere a PG(a_n)_n [tex3]\in[/tex3] aos [tex3]\mathbb{N}[/tex3] Positivos cuja representação gráfica é formada pelos pontos (n,[tex3]a_{n}[/tex3]) pertencentes ao gráfico da função exponencial f(x) = k^x, representado abaixo, em que k é uma constante real positiva e diferente de 1. Determine a razão q e o termo a₃₀ dessa PG.

Gabarito:

Pelo gráfico,

[tex3]k^\frac{1}{2}=\sqrt{k}=\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Daí,

[tex3]k=\frac{4}{3}\rightarrow f(x)=\left(\frac{4}{3}\right)^x\rightarrow f(n)=\left(\frac{4}{3}\right)^n[/tex3]

Temos, portanto, que [tex3]a_1=f(1)=\frac{4}{3}[/tex3], [tex3]a_2=f(2)=\left(\frac{4}{3}\right)^2[/tex3], [tex3]a_3=f(3)=\left(\frac{4}{3}\right)^3[/tex3], e assim por diante.

Daí fica fácil concluir que

[tex3]\begin{cases}q=\frac{4}{3}\\a_{30}=\left(\frac{4}{3}\right)^{30}\end{cases}[/tex3]