Olimpíadas ⇒ Olimpíada da África do Sul - Múltiplos e Divisores

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sejam a e b números primos diferentes de 3, e n = [tex3]3^{a}[/tex3] . [tex3]b^{b}[/tex3] . [tex3]a^{3}[/tex3] um número que admite 68 divisores compostos e não é divisível por 27. A soma dos algarismos de N é:

a) 9.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 6.

[Ittalo25MOD]

Se n não é divisível por [tex3]3^{3}[/tex3], então a é igual a 1 ou igual a 2, mas 1 não é primo, logo a é igual a 2.

[tex3]n = 3^{2}\cdot b^{b} \cdot 2^{3}[/tex3]

O número de divisores positivos de n é dado por;

[tex3](2+1 )\cdot (b+1 ) \cdot (3+1 ) = 12 \cdot (b+1 )[/tex3]

Foi dado o número de divisores compostos, logo temos que adicionar os divisores não compostos que são;

[tex3]\{1,2, , b, 3 \}[/tex3]

Logo n tem 72 divisores;

[tex3]12 \cdot (b+1 ) =72[/tex3]
[tex3]b =5[/tex3]

Finalmente

[tex3]n = 3^{2}\cdot 5^{5} \cdot 2^{3} = 225000[/tex3]

cuja soma dos algarismos é 9