Ensino Médio ⇒ Produto dos Divisores Positivos de um Inteiro

[rean]

Qual o produto de todos os divisores positivos de 1000?

[Thadeu]

A decomposição de [tex3]1000[/tex3] é [tex3]2^3\times5^3 ,[/tex3] e com isso o número de divisores é [tex3](3+1)(3+1)=16.[/tex3]

• [tex3]\begin{array}{r|c|l}
  & & 1\\
  1000 & 2 & 2 \\
  500 & 2 & 4 \\
  250 & 2& 8 \\
  125 & 5 & 5,10,20,40 \\
  25 & 5 & 25,50,100,200 \\
  5& 5 & 125, 250, 500, 1000 \\
  1 & &\end{array}[/tex3]

Os divisores são [tex3]\{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000\}[/tex3]

O produto é:

• [tex3](1)(2)(4)(5)(8)(10)(20)(25)(40)(50)(100)(125)(200)(250)(500)(1000)\\=
  (2)\,(2^2)\,(5)\,(2^3)(2.5)(2^2.5)(5^2)(2^3.5)(2.5^2)(2^2.5^2)(5^3)(2^3.5^2)(2.5^3)(2^2.5^3)(2^3.5^3)\\=2^{24}.5^{24}\\=(2.5)^{24}\\=10^{24}[/tex3]

[FMRY]

O produto [tex3]P[/tex3] dos divisires naturais de [tex3]n[/tex3] é igual à raiz quadrada do número [tex3]n[/tex3] elevada ao número de divisores naturais de [tex3]n:[/tex3]

• [tex3]P=(\sqrt{n})^n[/tex3]

Como o número de divisores é [tex3]16,[/tex3] então [tex3]P=(\sqrt{1000})^{16}= 10^{24}[/tex3]

[Thadeu]

Ótima resposta, eu não conhecia essa regra.

Um abraço!