Olimpíadas ⇒ Olimpíada da Irlanda - 1997 - Geometria Plana Tópico resolvido

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Seja um quadrilátero ABCD circunscrito a um círculo tal que <A = <B = 120°, <D = 90° e BC = 1. Determine a medida do segmento AD.

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Prolongue AD e BC até se tocarem lá em cima. Veja que fechamos um triângulo equilátero de lado x, e também um maior, retângulo, de lados z+x, y e x+1 e com ângulos 30 e 60. Utilizando trigonometria:

[tex3]\frac{x+z}{x+1}=\frac{1}{2} \rightarrow 2x+2z=x+1 \rightarrow x=1-2z[/tex3]
[tex3]\frac{y}{x+1}=\frac{\sqrt{3}}{2} \rightarrow y=(x+1)\frac{\sqrt{3}}{2}=(2-2z)\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Além disso, como o quadrilátero é circunscritível, [tex3]x+y=z+1[/tex3]
Substituindo tudo nessa equação, podemos achar z:

[tex3]1-2z+(2-2z)\frac{\sqrt{3}}{2}=z+1 \rightarrow \sqrt{3}=3z+z\sqrt{3} \rightarrow z=\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\therefore z= \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}[/tex3]

Acho que é isso.

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Também poderia ser feito assim: