Triângulo de Pascal: Teorema das Linhas
Enviado: 12 Jun 2008, 10:50
Uma sala tem 10 portas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode ser aberta?
Acompanhe a resolução:
Se das dez portas eu escolher apenas 1 para abrir: [tex3]C_{10,1}[/tex3]
Se das dez portas eu escolher 2 para abrir: [tex3]C_{10,2}[/tex3]
Se das dez portas eu escolher 3 para abrir: [tex3]C_{10,3}[/tex3]
Se das dez portas eu escolher 4 para abrir: [tex3]C_{10,4}[/tex3]
Se das dez portas eu escolher 5 para abrir: [tex3]C_{10,5}[/tex3]
Se das dez portas eu escolher 6 para abrir: [tex3]C_{10,6}[/tex3]
Se das dez portas eu escolher 7 para abrir: [tex3]C_{10,7}[/tex3]
Se das dez portas eu escolher 8 para abrir: [tex3]C_{10,8}[/tex3]
Se das dez portas eu escolher 9 para abrir: [tex3]C_{10,9}[/tex3]
Se das dez portas eu escolher 10 para abrir: [tex3]C_{10,10}[/tex3]
Então , teremos:
[tex3]\boxed{C_{10,1}+C_{10,2}+C_{10,3}+C_{10,4}+C_{10,5}+C_{10,6}+C_{10,7}+C_{10,8}+C_{10,9}+C_{10,10}=x}[/tex3]
Agora devemos lembrar de uma propriedade importante:
Na combinação : [tex3]\boxed{C_{n,P}}[/tex3]
• A soma de todos elementos da mesma linha é igual a [tex3]2^n,[/tex3] onde [tex3]n=[/tex3] nº da linha.
Então, vem que:
[tex3]\boxed{C_{10,0}+C_{10,1}+C_{10,2}+C_{10,3}+C_{10,4}+C_{10,5}+C_{10,6}+C_{10,7}+C_{10,8}+C_{10,9}+C_{10,10}=2^{10}}[/tex3]
Agora voltamos ao exercício utilizando a propriedade acima lembrada:
[tex3]C_{10,0}+\boxed{C_{10,1}+C_{10,2}+C_{10,3}+C_{10,4}+C_{10,5}+C_{10,6}+C_{10,7}+C_{10,8}+C_{10,9}+C_{10,10}}=2^{10}[/tex3]
[tex3]C_{10,0}+\boxed{x}=2^{10}[/tex3]
[tex3]1+x=1024[/tex3]
[tex3]\boxed{x=1023}[/tex3]
Portanto existem [tex3]1023[/tex3] maneiras diferentes de se abrir uma sala de [tex3]10[/tex3] portas.