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Determinar a equação de um plano que passa pelos pontos [tex3]M(1,3,0)[/tex3] e [tex3]N(4,0,0)[/tex3] fazendo um ângulo de [tex3]30^\circ[/tex3] com o plano [tex3]x+y+z-1=0.[/tex3]

Observe

Obs. O gabarito postado por você( ou erro no livro ), não faz sentido, suponho que você( ou a pessoa que digitou o livro ) tenha se equivocado na hora de digitar o mesmo. Para verificar o que eu quis dizer, basta você substituir os pontos M e N nas equações dos planos do seu gabarito e você irá perceber que as igualdades não são satisfeitas! Outra possibilidade é que você ( ou erro do livro ) tenha se equivocado na digitação da pergunta, ou então , erro tanto no enunciado como no gabarito. Minha opinião, eu fico com a primeira possibilidade.

Uma solução:

Para facilitar os cálculos( pelo menos no meu ponto de vista ) , vamos encontrar uma reta r que passa pelos pontos M e N , obviamente essa reta estará contida no plano π que estamos à procura.

[tex3]\vec{MN}[/tex3] = N - M = ( 3 , - 3 , 0 ) → vetor diretor da reta r.

Como r passa pelo ponto N( 4 , 0 , 0 ) ( pode adotar o ponto M ? Claro! ) , então a reta r é:

....{ x = 4 + 3t
r : { y = - 3t → t = - y/3
....{ z = 0 ( I )

x = 4 + 3.( - y/3 ) → x = 4 - y → x + y - 4 = 0 ( I I ).

Assim, qualquer ponto de r satisfaz as equações x + y - 4 = 0 ( I I ) e z = 0 ( I ), que são equações gerais de planos. Concluímos que r está contida em ambos, e , uma vez que os coeficientes de x , y e z nas duas equações não são proporcionais ( ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 0 , 0 , 1 ) ) ( E se fossem proporcionais?? ) , um sistema de equações de r na forma planar é :

....{ x + y - 4 = 0
r : {
....{ z = 0

Ora, como o plano (π) a ser determinado passa pelos pontos M e N , logo concluímos que π contém a reta

....{ x + y - 4 = 0
r : {
....{ z = 0


Por outro lado, o plano π pertence ao feixe de planos que contém r, e por isso tem equação da forma

α.( x + y - 4 ) + β.( z ) = 0 ,

em que α e β não são ambos nulos ( veja Proposição do seu livro ). Então,

π : ( α ).x + ( α ).y + ( β ).z - 4α = 0

e [tex3]\vec{n}[/tex3] = ( α , α , β ) é um vetor normal a π. Temos ainda que, um vetor normal a x + y + z - 1 = 0 é [tex3]\vec{n}_{1}[/tex3] = ( 1 , 1 , 1 ) e cos 30° = (√3)/2 . Segue que

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{|\alpha + \alpha + \beta |}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}.\sqrt{\alpha ^2 + \alpha ^2 + \beta ^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{| 2 \alpha + \beta |}{\sqrt{3}.\sqrt{ 2\alpha ^2 + \beta ^2}}[/tex3]

Elevamos ambos os membros ao quadrado, obtemos :

[tex3]\frac{3}{4} = \frac{4 \alpha ^2 + 4\alpha \beta + \beta^2}{ 6\alpha ^2 + 3\beta ^2}[/tex3]

2α² - 16αβ + 5β² = 0.

Resolvendo como equação do segundo grau em α , encontramos

α = ( 16β ± 6β√6 )/4

α = ( 8β ± 3β√6 )/2

Ou seja,

α = ( 8β + 3β√6 )/2 e α = ( 8β - 3β√6 )/2.

Logo, β ≠ 0 , senão α e β seriam ambos nulos. Substituindo na equação de π : ( α ).x + ( α ).y + ( β ).z - 4.α = 0 e dividindo os dois membros por β, obteremos duas soluções:

[ ( 8β + 3β√6 )/2 ].x + [ ( 8β + 3β√6 )/2 ].y + β.z - 4.[ ( 8β + 3β√6 )/2 ] = 0

[ ( 8 + 3√6 )/2 ].( x + y - 4 ) = - z

x + y - 4 = - 2z/( 8 + 3√6 ) → racionalize!

x + y - 4 = [ - 2z.( 8 - 3√6 ) ]/[ 8² - (3√6)^2 ]

x + y - 4 = [ - 2z.( 8 - 3√6 ) ]/( 64 - 54 )

x + y - 4 = [ - 2z.( 8 - 3√6 ) ]/10

Logo,

5x + 5y + ( 8 - 3√6 ).z - 20 = 0.

Proceda como o raciocínio acima para α = ( 8β - 3β√6 )/2 e você obterá:

5x + 5y + ( 8 + 3√6 ).z - 20 = 0.

Portanto, os planos procurados são: π : 5x + 5y + ( 8 - 3√6 ).z - 20 = 0 e π : 5x + 5y + ( 8 + 3√6 ).z - 20 = 0.


Excelente estudo!