Olimpíadas ⇒ (Austria) Condição de desigualdade

[undefinied3]

Sejam [tex3]x,y,z,c>0[/tex3] de modo que seja satisfeito:
[tex3]xy+yz+xz+xyz=c[/tex3]
Determine todos os valores de c para os quais também seja válido:
[tex3]x+y+z \geq xy+yz+zx[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]x+y+z \geq xy+xz+yz[/tex3]

[tex3]x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}[/tex3]
[tex3]xy+xz+yz \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}[/tex3]
[tex3]\therefore \sqrt[3]{xyz}\geq\sqrt[3]{x^2y^2z^2} \rightarrow xyz(xyz-1) \leq 0[/tex3], mas os termos são todos positivos, então segue que [tex3]xyz \leq 1[/tex3].

EDIT: Vacilei na desigualdade. Na verdade parece que pra todo [tex3]c>0[/tex3] tem como definir [tex3]xy+yz+xz+xyz=c[/tex3] de modo que [tex3]xyz \leq 1[/tex3], mas ainda não tenho certeza.

[Andre13000]

Não sei se ajuda mas seja o polinômio [tex3]P(z)=z^3+mz^2+pz+q[/tex3] tal que suas raízes sejam x, y, z. Então:

[tex3]p-q=c\\
-m\geq p\\
m\leq -q-c[/tex3]

Fazendo P(-1):

[tex3]P(-1)=-1+m-p+q\\
P(-1)=-1+m-c\\
m=P(-1)+c+1\\
P(-1)+c+1\leq -q-c\\
P(-1)+2c+q+1\leq 0[/tex3]

Talvez seja por aí, mas provavelmente é para brincar com desigualdades mesmo. Amanhã vejo aonde chego com isso.

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]P(1)=1+m+p+q = 1 + P(-1)+c+1+c+q+q[/tex3]
[tex3]P(1)-P(-1)-2=2(q+c)[/tex3]
[tex3]P(-1)+c+1 \leq \frac{2+P(-1)-P(1)}{2}[/tex3]
[tex3]c \leq \frac{-P(-1)-P(1)}2[/tex3]
acho que dá pra deixar c em função de outros valores e obter desigualdades no polinômio P sim