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Encontrar a forma fechada para a enésima soma parcial de série e determine se a série converge. Se convergir, encontre sua soma.

• [tex3]\ell n \left(1 - \frac{1}{4}\right) + \ell n \left(1 - \frac{1}{9}\right) + \ell n \left(1 - \frac{1}{16}\right) + \cdots + \ell n \left[1 - \frac{1}{(k+1)^2}\right] + \cdots[/tex3]

ela converge para [tex3]{-} \ell n 2 ,[/tex3] mas ta difícil achar uma forma fechada da série.
vlw

Observe

Solução:

Temos que

[tex3]ln\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=ln\left(\frac{k^2-1}{k^2}\right)=ln\left(\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}\right)=ln\left(\frac{k-1}{k}\right)+ln\left(\frac{k+1}{k}\right)=ln\left(\frac{k-1}{k}\right)-ln\left(\frac{k}{k+1}\right)[/tex3]

Logo,

[tex3]S_{n}=\sum_{k=2}^{n+1}[ln
\left(\frac{k-1}{k}\right)-ln\left(\frac{k}{k+1}\right)]=\left(ln\left(\frac{1}{2}\right)-ln\left(\frac{2}{3}\right)\right)+\left(ln\left(\frac{2}{3}\right)-ln\left(\frac{3}{4}\right)\right)+\left(ln\left(\frac{3}{4}\right)-ln\left(\frac{4}{5}\right)\right)+ \ ... \ +\left(ln\left(\frac{n}{n+1}\right)-ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)\right)=ln\left(\frac{1}{2}\right)-ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)[/tex3]


Ainda;

[tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}S_{n}=[/tex3]

[tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}
\left(ln\left(\frac{1}{2}\right)-ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)\right)=ln\left(\frac{1}{2}\right)-0=ln(1)-ln(2)=0-ln(2)=-ln(2)[/tex3]

Logo, [tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}S_{n}=-ln(2)[/tex3]

Portanto, ela converge para - ln(2).




Nota

Mais uma questão antiga resolvida, para quem vier buscar a solução da mesma para estudos.



Bons estudos!