IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2017) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Uma pirâmide triangular tem como base um triângulo de lados [tex3]13\ cm[/tex3], [tex3]14\ cm[/tex3] e [tex3]15\ cm[/tex3]; as outras arestas medem [tex3]\ell[/tex3]. Sabendo que o volume da pirâmide é de [tex3]105\sqrt{22}\ cm^3[/tex3], o valor de [tex3]\ell[/tex3], em [tex3]cm[/tex3], é igual a:

(A) [tex3]\frac{155}{8}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{335}{11}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{275}{9}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{205}{8}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{95}{8}[/tex3]

Resposta:

---

A

[LucasPinafiMOD]

onde tu achou a prova e o gabarito?

[Marcos]

onde tu achou a prova e o gabarito?

https://www.marinha.mil.br/ensino/?q=es ... la_naval=2

[Marcos]

Olá ALDRIN.Observe a solução:

[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Aplicando o Teorema de Heron, teremos:
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}[/tex3]
[tex3]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex3]
[tex3]p=\frac{13+14+15}{2}=21 \ cm[/tex3].

[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{21.(21-13).(21-14).(21-15)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{21.(8).(7).(6)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{3.7.(2^3).(7).(2.3)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{(2^4).(7^2).(3^2)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=2^2.7.3[/tex3]
[tex3]\boxed{S_{\triangle}=84 \ cm^2}[/tex3].

[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Como as [tex3]3[/tex3] arestas são iguais, as projeções delas no plano do triângulo também são iguais.Assim, o vértice da pirâmide projetado no triângulo corresponde a um ponto do triângulo que equidista dos três vértices desse triângulo. Este ponto é o circuncentro, e a distância a cada ponto vale [tex3]r[/tex3], o raio da circunferência circunscrita.Aplicando [tex3]S_{\triangle}=\frac{a.b.c}{4r}[/tex3], teremos:

[tex3]S_{\triangle}=\frac{a.b.c}{4r}=84[/tex3]
[tex3]\frac{13.14.15}{4.r}=84[/tex3]
[tex3]r=\frac{13.14.15}{4.84}[/tex3]
[tex3]\boxed{r=\frac{65}{8} \ cm}[/tex3]

[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Observe agora que, o raio [tex3]r[/tex3], a altura [tex3]h[/tex3] da pirâmide e a aresta [tex3]\ell[/tex3] formam um triangulo retângulo, em que a aresta [tex3]\ell[/tex3] é hipotenusa.Aplicando o Teorema de Pitágoras, teremos:

[tex3]r^2+h^2=\ell^2[/tex3]
[tex3]\boxed{\left(\frac{65}{8}\right)^2+h^2=\ell^2}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Sabendo que o volume da pirâmide é de [tex3]105\sqrt{22}\ cm^3[/tex3], teremos:
[tex3]V=\frac{1}{3}.S_{\triangle}.h[/tex3]
[tex3]105\sqrt{22}=\frac{1}{3}.84.h[/tex3]
[tex3]105\sqrt{22}=28.h[/tex3]
[tex3]h=\frac{105\sqrt{22}}{28}[/tex3]
[tex3]\boxed{h=\frac{15\sqrt{22}}{4} \ cm}[/tex3]

[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Substituindo [tex3]h[/tex3] em [tex3]\left(\frac{65}{8}\right)^2+h^2=\ell^2[/tex3], teremos:

[tex3]\left(\frac{65}{8}\right)^2+h^2=\ell^2[/tex3]
[tex3]\left(\frac{65}{8}\right)^2+\left(\frac{15\sqrt{22}}{4}\right)^2=\ell^2[/tex3]
[tex3]\frac{65^2}{8^2}+\frac{15^2.22}{4^2}=\ell^2[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\ell=\frac{155}{8} \ cm}}\Longrightarrow Letra:(A)[/tex3]

Resposta: [tex3]A[/tex3].