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Um bloco escorrega, livre de resistência do ar, sobre um plano inclinado de 30°, conforme a figura (sem escala) a seguir.
No trecho AB não existe atrito e no trecho BC o coeficiente de atrito vale µ = 3/2.
O bloco é abandonado, do repouso em relação ao plano inclinado, no ponto A e chega ao ponto C com velocidade nula. A altura do ponto A, em relação ao ponto B, é h1 , e a altura do ponto B, em relação ao ponto C, é h2 .
A razão h1/h2 vale

A)1/2 (resp)

B)3/2

C)3

D)2

Em primero lugar:[tex3]\mu =\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]. Esse erro de digitação fez com que eu fizesse uma conta enorme para nada.

Tirando isso, vamos lá:

De A até B:
[tex3]P\cdot sen30º=ma\rightarrow a=\frac{g}{2}[/tex3]
[tex3]V^2=V_{0}^2+2a\Delta s\rightarrow V^2=g\cdot AB[/tex3]

De B até C:
(Repare que aqui a força normal será [tex3]Pcos30º[/tex3])
[tex3]F_{at}-Psen30º=ma\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}mg -\frac{mg}{2}=m\cdot a\rightarrow \frac{3mg}{4}-\frac{mg}{2}=ma\rightarrow \frac{mg}{4}=ma\therefore a=\frac{g}{4}[/tex3]

Mas ele precisa com essa nova aceleração resultante chegar em C com velocidade nula:
(A velocidade inicial aqui será a velocidade final obtida de A até B)
[tex3]V^2=V_{0}^2-2a\Delta s\rightarrow 0=gAB-\frac{gBC}{2}\rightarrow gBC=2gAB\therefore BC=2AB[/tex3]

Por semelhança:

[tex3]\frac{h_{1}}{h_1+h_2}=\frac{AB}{AB+BC}\rightarrow \frac{h_1}{h_1+h_2}=\frac{1}{3}\rightarrow 3h_1=h_1+h_2\rightarrow 2h_1=h_2\therefore \boxed{\frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{2}}[/tex3]

[tex3]V^2=V_{0}^2-2a\Delta s\rightarrow 0=gAB-\frac{gBC}{2}\rightarrow gBC=2gAB\therefore BC=2AB[/tex3]
Por que Torriceli está negativo em [tex3]-2a \Delta S[/tex3]????

Porque a aceleração será negativa. Eu só adiantei o processo.

Mas se considerasse [tex3]g[/tex3] como um vetor [tex3]-g \vec{j}[/tex3] pra baixo no sistema xy, também daria certo

Sim, claro, existem diversas formas de se resolver.