Pré-Vestibular ⇒ (UFSE) Geometria Plana: Semelhança de Triângulos

[barbarahass]

Na figura abaixo, são dados [tex3]\bar{AC}=8\text{cm}[/tex3] e [tex3]\bar{CD}=4\text{cm}.[/tex3] A medida de [tex3]BD[/tex3] é, em centímetros:

a) 9
b) 10
c) 12
d) 15
e) 16

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[Thadeu]

Os triângulos [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]ADC[/tex3] são semelhantes pois possuem os três ângulos internos iguais
[tex3]\widehat{x},\,\widehat{C}[/tex3](comum aos dois triângulos) e com isso o ângulo [tex3]\widehat{A}\,=\,\widehat{D}[/tex3]

No triângulo [tex3]ABC,[/tex3] o lado [tex3]AC[/tex3] está oposto ao ângulo [tex3]\widehat{x}[/tex3] e o lado [tex3]BC[/tex3] está oposto ao ângulo [tex3]\widehat{A}[/tex3]; e no triângulo [tex3]ADC,[/tex3] o lado [tex3]DC[/tex3] está oposto ao ângulo [tex3]\widehat{x}[/tex3] e o lado [tex3]AC[/tex3] está oposto ao ângulo [tex3]\widehat{D}[/tex3]; e lados opostos a ângulos iguais, são proporcionais.

Então:
[tex3]\frac{AC}{CD}\,=\,\frac{BC}{AC}\,\Rightarrow\,\frac{8}{4}\,=\,\frac{BC}{8}\,\Rightarrow\,BC=16[/tex3]

[tex3]BD+DC=BC\,\Rightarrow\,BD=16-4\,\Rightarrow\,BD=12[/tex3]

resp c