Olimpíadas ⇒ (Olimpíada da Inglaterra) Somatório Triplo Tópico resolvido

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Avalie [tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^i\cdot3^j\cdot3^k.}[/tex3] Sabendo que [tex3]i \neq j \neq k.[/tex3]

[jedi]

[tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^i\cdot3^j\cdot3^k.}[/tex3]

podemos tirar os termos do produto que não dependem de K do primeiro somatório

[tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^k}[/tex3]

utilizando a formula da soma de uma PG infinita com razão menor que 1

[tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}.\frac{1}{1-\frac{1}{3}}[/tex3]

[tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}.\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{3^i}\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^j}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{3^i}.\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2}.\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{3^i}[/tex3]

[tex3]=\left(\frac{3}{2}\right)^3[/tex3]