Olimpíadas ⇒ (OBMEP-2017) Resto da divisão

[ALANSILVA]

Somando [tex3]1[/tex3] a um certo número natural, obtemos um múltiplo de [tex3]11[/tex3]. Subtraindo [tex3]1[/tex3] desse mesmo número, obtemos um múltiplo de [tex3]8[/tex3]. Qual é o resto da divisão do quadrado desse número por [tex3]88[/tex3]?
A) 0
B) 1
C) 8
D) 10
E) 80

Resposta

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Gabarito: B

[Snowden]

Esse número seria o 65? eu fiz a lista dos números multiplos de 11 até o número 154(14 números),depois eu fui subtraindo uma unidade e somando uma unidade.Por exemplo: 55 é multiplo de 11, logo 54 é um numero que somado com uma unidade vira multiplo de 11,mas quando subtrai uma unidade Não vira multiplo de 8. achei o 65 e,realmente,seu quadrado deixa resto 1 quando divide por 88.Espero ter ajudado

[undefinied3]

Não é apenas esse número. Por ser uma questão objetiva, essa solução por listagem seria suficiente, mas deixo uma solução que daria pontuação completa caso a questão fosse discursiva, pois a priori não há nada que prove que esse resto é unicamente 1.

[tex3]n+1=11a \rightarrow 8n+8=88a[/tex3]
[tex3]n-1=8b \rightarrow 11n-11=88b[/tex3]
[tex3]3n-19=88(b-a)=88c[/tex3]
[tex3]3n=88c+19[/tex3]
Veja que [tex3]88 \equiv 1[/tex3] e [tex3]19 \equiv 1[/tex3] módulo 3, então c deve deixar resto 2, segue que [tex3]c=3p+2[/tex3]
[tex3]3n=264p+195 \rightarrow n =88p+65[/tex3]
O resto da divisão de [tex3]n^2[/tex3] por 88 é o mesmo que o quadrado do resto da divisão de n por 88. No caso, esse resto é 65, [tex3]65^2=4225[/tex3], que deixa resto 1 de fato.

[Lonel]

Vou postar a solução que fiz no dia da prova, acho que é mais fácil de entender/fazer:

Vou chamar este número natural de [tex3]n[/tex3]. Sabemos que [tex3]\frac{n+1}{11}[/tex3] e [tex3]\frac{n-1}{8}[/tex3] apresentam restos zero, então a multiplicação entre as frações apresentará o mesmo resto. Assim, [tex3]\frac{n^2-1}{88}[/tex3] apresenta resto zero. Como [tex3]n^2[/tex3] subtraído de uma unidade deixa resto zero, assim [tex3]n^2[/tex3] deixará resto um.