Ensino Médio ⇒ (Tópicos de Matemática) Produtos Notáveis e Fatoração Tópico resolvido

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Qual o valor de [tex3]\frac{4011^{3}+2006^{3}+2005^{3}}{4011.2006.2005}?[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)([a-b]^2+[a-c]^2+[b-c]^2)[/tex3]
[tex3]S=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \rightarrow S-3=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{abc}[/tex3]
[tex3]S-3=\frac{(a+b+c)([a-b]^2+[a-c]^2+[b-c]^2)}{2abc}[/tex3]
Só que temos [tex3]a=b+c[/tex3] e [tex3]b=c+1[/tex3], então:
[tex3]S-3=\frac{(2b+2c)(c^2+b^2+1)}{2(b+c)bc}=\frac{b^2+c^2+1}{bc}[/tex3]
[tex3]S-3=\frac{c^2+2c+1+c^2+1}{c^2+c}=\frac{2c^2+2c+2}{c^2+c}=2+\frac{2}{c^2+c}[/tex3]
[tex3]S=5+\frac{2}{c^2+c}=5+\frac{2}{2005.2006}[/tex3]