Ensino Médio ⇒ Depreciação de um veículo

[Lucabral]

(SIMULADO FTD)Dentre os carros que mais desvalorizam, os carros de luxo são os que mais sofrem depreciação. Na compra de um carro no valor de r$ 120.000,00, o consumidor sabe que o modelo adquirido sofre uma desvalorização de 10% ao ano, isto é, o carro tem a cada instante um valor menor do que o valor que tinha um ano antes.Para que o carro perca 70% do seu valor inicial, é necessário que se passe entre: (dado: log3=0,477)

Resposta

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GABARITO:12 e 13 anos.

Meu raciocínio seguiu as seguintes etapas:
1º) Já que ele desvaloriza 10% ao ano,montei a estrutura da função dessa forma:
P= Po.(0,9)t
(1-0,7).120.000= 120.000.(0,9)t
0,3= (0,9)t
2º) Com essa estrutura formada apliquei log e tentei trabalhar as propriedades.
log (3/10)= log (9/10)t
log 3- log10= t.log32 –log 10
0,477-1= (2.t.0,477) – 1
-0,523= -0,046t
t~ 11,36 anos.


Em qual etapa eu errei?

[FelpDS]

Também encontrei esse mesmo valor

Edit: pesquisei de qual vestibular era essa questão e o gabarito constra entre 11 e 12 anos mesmo =)

[Lucabral]

Fiquei tentando encontrar o erro na resolução.Um detalhe interessante é o seguinte (comente se achar que estou viajando): A desvalorização de 10% ao ano,ao meu ver,pode ser escrita de duas formas:

DEP LOG.jpg (2.64 KiB) Exibido 10086 vezes

ou da forma como coloquei P= Po.(0,9)t sendo o 0,9 0 fator de correção que expressa o valor depreciado.Utilizei o 0,9 porque a questão me forneceu o valor do log de 3. Acontece que utilizando a primeira equação,vi uma resolução diferente,veja:
P = Po.1,1-n

(1 - 0,7).120 = 120.1,1-n

0,3 = 1,1- n

log0,3 = - n.log1,1 ---> log(3/10) = - n.log1,1 ---> log3 - log10 = -n.log1,1 ---> 0,477 - 1= n.log1,1 --->

Faltou, no enunciado, informar o valor de log1,1. Vou usar calculadora

- 0,523 = - n.0,04139 ---> n ~= 12,6 anos ---> Alternativa B

Nesse caso daria o gabarito da questão.Curioso isso,não? O que acha?

[hermont]

Esse exercício da para fazer apenas com a fórmula de juros compostos:
M=C(1+i)^t
Para isso, devemos calcular primeiro, quanto será a depreciação de 70% que foi dito no enunciado.
120000.0,7= 36000
Com isso, aplicamos na fórmula:
36000=120000(1-0,1)^t
Com isso teremos:
36/120= (0,9)⁵
3/10=(0,9)^t
APLICANDO LOG DOS DOIS LADOS:
LOG₁₀ 3/10= LOG ₁₀(0,9)^t
LOG 3 - LOG 10= t (LOG 9 - LOG 10)
0,477- 1 = t (2 LOG 3 - 1)
-0,523 = t ( 2. 0,477 - 1)
-0,523= t (-0,046)
t = 0,523/ 0,046
t = 11,3