Ensino Superior ⇒ Cálculo da equação da reta tangente referente ao gráfico

[andrecezar]

Alguém poderia me ajudar, estou com muita dificuldade nesta questão:

Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função tangente no ponto

a) x = 0
b) x = [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]
c) x = [tex3]\frac{-\pi }{4}[/tex3]

Esboce o gráfico da função tangente juntamente com suas retas tangentes em cada ponto.

[Andre13000]

[tex3]y=\tg x\\
\frac{dy}{dx}=m=\sec^{2}x[/tex3]

Agora usando a fórmula [tex3]m=\frac{y_s-y_0}{x_s-x_0}[/tex3] podemos achar a reta que passa tangente ao gráfico em certo ponto x zero e y zero. Veja que denotei [tex3]y_s[/tex3] e [tex3]x_s[/tex3]: essas são as variáveis da minha equação de reta, você não deve mexer nelas. Também veja que [tex3]y_0=\tg x_0[/tex3]. Sabendo disso:

[tex3]m=\frac{y_s-y_0}{x_s-x_0}\\
\sec^2x_0=\frac{y_s-\tg x_0}{x_s-x_0}\\
x_s\sec^2x_0-x_0\sec^2x_0=y_s-\tg x_0\\
y_s=x_s\sec^2x_0+\tg x_0-x_0\sec^2x_0[/tex3]

ou [tex3]y=x\sec^2x_0+\tg x_0-x_0\sec^2x_0[/tex3]

Agora, vá nos Desmos (um site online onde você pode visualizar gráficos de funções cartesianas) e coloque essa última função e a função original da tangente. No lugar do "x zero", coloque "a", pois fica mais fácil de configurar. Vai aparecer um slide e aí você pode mexer nele olhando como se comportam as duas funções.

Se tiver com preguiça clica nesse link aqui. https://www.desmos.com/calculator/rhehpxko0d

Você pode também clicar no play e dá um efeito muito massa.