Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Quádricas

[tausil]

[tex3]4x^2+y^2-z^2+12x-2y+4z=10[/tex3]

Estou em dúvida na identificação de quádricas por translação. Alguém poderia me ajudar resolvendo essa por exemplo e explicando os passos pra resolver.

vlw ae quem puder ajudar

[jneto]

Fatorando, temos:

• [tex3]4x^2 + y^2 - z^2 + 12x - 2y + 4z = 10 \\
  4(x^2 + 3x) + (y^2 - 2y) - (z^2 - 4z) = 10 \\
  \left[4\left(x^2 + 3x + \frac{9}{4}\right) -9\right] + [(y^2 - 2y + 1) - 1] + [- (z^2 - 4z + 4) + 4] = 10 \\
  4\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - 9 + (y - 1)^{2} -1 - (z - 2)^2 + 4 = 10 \\
  4\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + (y - 1)^{2} - (z - 2)^2 = 16[/tex3]

Para deixar numa forma mais simples, vamos fazer mudanças de variáveis:

• [tex3]u = 2\left(x + \frac{3}{2}\right) \\
  v = y - 1 \\
  w = z - 2[/tex3]

Donde:

• [tex3]u^2 + v^2 - w^2 = 16[/tex3]