Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Comprimento do Arco de Circunferência

[castroics]

O ponteiro dos minutos de um relógio mede 8 cm. Qual é a distância aproximada que sua extremidade percorre durante 25 minutos?

[Doug]

Opa, fiz assim,

[tex3]\frac{360}{60}=6^{o}[/tex3]

então a cada minuto o ponteiro anda 6º assim 25.6=150º, o ângulo tem que estar em radianos para isso é só multiplicar por [tex3]\pi[/tex3] e dividir por 180,

[tex3]\frac{150.\pi}{180}=\frac{5.\pi}{6}[/tex3]

agora é jogar na formula, [tex3]\alpha=\frac{\Delta S}{R}\Right\,\frac{5\pi}{6}=\frac{\Delta S}{8}\Right\,\frac{40.\pi}{6}=\Delta S[/tex3]

Se tomarmos [tex3]\pi[/tex3] por 3,14 achamos, [tex3]\Delta S\approx\,21cm[/tex3]

Acho que é isso, abraço e t+

[Karl Weierstrass]

Cada arco de circunferência determinado pelas doze divisões de um relógio analógico mede [tex3]\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\text{rad}.[/tex3]

O comprimento do arco pedido é dado por [tex3]\ell = \alpha \cdot r,[/tex3] onde [tex3]\alpha[/tex3] é o ângulo central em radianos e [tex3]r[/tex3] é o raio da circunferência.

Sem perda de generalidade, considere que o ponteiro dos minutos se desloca de [tex3]12[/tex3] até [tex3]5.[/tex3] Como há [tex3]5[/tex3] arcos de [tex3]\frac{\pi}{6}\text{rad}[/tex3] entre as posições [tex3]12[/tex3] e [tex3]5,[/tex3] temos que [tex3]\alpha = \frac{5\pi}{6}\text{rad}.[/tex3] Além disso, [tex3]r = 8\text{cm}.[/tex3]

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Portanto,

• [tex3]\ell =\frac{5\pi}{6}\cdot 8=\frac{20\pi}{3}\text{cm}\approx 21 \text{cm}[/tex3].