Ensino Médio ⇒ Primeiro Lema de Kaplansky Tópico resolvido

[Daedalus00]

"O conjunto {1, 2, ..., n} tem C(n, n – p + 1) subconjuntos com p elementos onde não aparecem números consecutivos. "

Fui aplicar a formula nesta questão:

Considere o conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5}. De quantos modos podemos formar subconjuntos de C com dois elementos nos quais não haja números consecutivos?

Resposta

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Resposta: 6

Fiz C5,4, já que C(n, n – p + 1), e depois apliquei C5,4= 5!/4!1! e não bateu com a resposta... Oq eu fiz de errado?

[314159265]

[tex3]C_{5}^{2}=\frac{5!}{3!2!}=10[/tex3]; são 10 combinações possíveis de retirada de 2 números dentre 5

Mas desse total de retiradas temos que abater aquelas em que os números serão consecutivos:

Esses subconjuntos são 4: {1,2}, {2,3], {3,4} e {4,5}.

Resposta: 10 - 4 = 6

[Daedalus00]

Mas, eu tinha entendido já como que fazia o problema, e também entendi seu raciocínio, porém é válido apenas em conjuntos com pouco elementos, concorda? Então, por isso que o autor propôs esta formula, que citei .... Porém não deu certo... Minha dúvida é justamente o que eu fiz de errado...

[314159265]

É válido pra um conjunto com muitos elementos também. Se forem 1000 elementos, eu tenho 999 pares consecutivos. Se forem 5000 elementos, 4999 pares consecutivos. É sempre n-1.

[314159265]

Eu prefiro fazer assim do que aplicando uma fórmula pronta cuja dedução você nem conhece. Vai acertar na prova e daqui a 1 mês não vai lembrar mais. Tem que saber o raciocínio.

[Loexdramorama]

Oi Daedalus00. Estou muito curiosa tbm para entender aquela formula. Se eu conseguir falo com você. Abraço

[Loexdramorama]

Mas, eu tinha entendido já como que fazia o problema, e também entendi seu raciocínio, porém é válido apenas em conjuntos com pouco elementos, concorda? Então, por isso que o autor propôs esta formula, que citei .... Porém não deu certo... Minha dúvida é justamente o que eu fiz de errado...

Oi. Eu tentei chegar na fórmula e encontrei algo diferente. Acho que a formula que vc viu tinha um erro de digitação.
Eu cheguei na fórmula:

[tex3]C n-p+1, p[/tex3]
Eu posso estar enganada, mas minhas contas deram certo. Veja se suas contas tbm dão certo. Se não derem me fala que eu estou curiosa demais. Abraço

[Daedalus00]

Oi Daedalus00. Estou muito curiosa tbm para entender aquela formula. Se eu conseguir falo com você. Abraço

Realmente Loexdramorama, era provavelmente era apenas um erro de digitação... Triste... Obrigado por perceber, e também por deduzir a fórmula (espero q n tenha sido uma dedução difícil...) Se puder compartilhar seu raciocínio seria mt bom =)

[Daedalus00]

Eu prefiro fazer assim do que aplicando uma fórmula pronta cuja dedução você nem conhece. Vai acertar na prova e daqui a 1 mês não vai lembrar mais. Tem que saber o raciocínio.

Realmente, fui bem idiota por n perceber q em um conjunto com n elementos tem n-1 pares consecutivos... Talvez a fórmula também seja útil não só para pares de elementos mas também para trios.

[Loexdramorama]

"O conjunto {1, 2, ..., n} tem C(n, n – p + 1) subconjuntos com p elementos onde não aparecem números consecutivos. "
Fui aplicar a formula nesta questão:
Considere o conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5}. De quantos modos podemos formar subconjuntos de C com dois elementos nos quais não haja números consecutivos?
Resposta: 6
Fiz C5,4, já que C(n, n – p + 1), e depois apliquei C5,4= 5!/4!1! e não bateu com a resposta... Oq eu fiz de errado?

Claro. Vou lhe contar sim. Não é nada complicado não.
Quando precisamos lidar com este tipo de situação onde a posição é importante nós esquecemos os números e marcamos as posições.
por exemplo:
12 não podem ser exemplo
13 é um exemplo de subconjunto com esta exigência
quer dizer os números não podem ser aqueles que são tão próximos

vou marcar com os que podem ficar juntos com 1 e os que não podem com 0. São 2 números escolhidos. Então são três 1s.
_ 1_1_1_
deixei espaços entre estes números para poder escolher.
Assim eu devo escolher os 0s para colocar nos espaços que estão dividindo os consecutivos. Escolher entre quatro espaços dois para colocar 0, ou seja, [tex3]C4,2[/tex3].

Vamos fazer com n elementos um subconjunto com p elementos.
_1_1_1_1...1_1_
Como pensamos anteriormente são p elementos, n-p 1s, e portanto n-p+1 espaços. E tenho que escolher entre n-p+1 espaços p elementos. Ou seja
[tex3]Cn-p+1, p[/tex3]

Minha explicação é péssima. Espero ter ajudado. Foi muito divertido.
Abraço