Ensino Fundamental ⇒ Trapézio Isósceles Tópico resolvido

[botelho]

Em um trapézio isósceles ABCD (AD paralelo BC), a medida do ângulo ACD é igual a 90°, BC=7 e AC=20,calcular AD.
a)24
b)25
c)22
d)26
e)27
r:b

[Lonel]

Segue a figura do problema. Para facilitar, reescrevi [tex3]\overline{AD}=y[/tex3],[tex3]\overline{AB}=\overline{CD}=x[/tex3]:

trapezio.png (6.77 KiB) Exibido 1341 vezes

Como o trapézio é isósceles, logo suas diagonais apresentam o mesmo tamanho. Assim [tex3]\overline{AC}=\overline{BD}=20[/tex3]. Pelo teorema de Pitágoras no [tex3]\triangle ACD[/tex3], temos que [tex3]20^2+x^2=y^2\Rightarrow x^2=y^2-400[/tex3] (i). Como um trapézio isósceles é inscritível em uma circunferência, logo aplica-se nele o teorema de Ptolomeu: [tex3]20^2=7y+x^2[/tex3] (ii). Substituindo (i) em (ii), temos que [tex3]y^2+7y-800=0[/tex3], e resolvendo esta equação de segundo grau encontramos como solução positiva [tex3]y=25[/tex3].