IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1987) Geometria Plana: Área de um Quadrilátero Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considere um losango de lado [tex3]L[/tex3] e área [tex3]S.[/tex3] A área do quadrado inscrito no losango, em função de [tex3]L[/tex3] e [tex3]S[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{4S^2}{L^2+2S}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{16S^2}{4L^2+S}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{S^2}{L^2+S}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{4S^2}{4L^2+2S}.[/tex3]
e) [tex3]\frac{S^2}{L^2+2S}.[/tex3]

Resposta:

---

(c)

[triplebig]

Resolução

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Losango.jpg (13.22 KiB) Exibido 2653 vezes

Chamarei o lado do quadrado de [tex3]\sqrt{x},[/tex3] [tex3]\overline{BJ}\,=\,H[/tex3] e [tex3]\overline{AI}\,=\,h[/tex3].

Temos que [tex3]\triangle BHJ\,\sim\,\triangle HIA .[/tex3] Assim podemos tirar a seguinte proporção:

• [tex3]\Large\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}}{H}\large\,=\,\Large\frac{h}{\frac{\sqrt{x}}{2}}\large \Longleftrightarrow Hh\,=\,\Large\frac{x}{4}\large\Longleftrightarrow x\,=\,4Hh \rightarrow \boxed{ I }[/tex3]

A área do polígono vai ser a área do quadrado mais as áreas dos [tex3]4[/tex3] triângulos em volta:

• [tex3]S\,=\,x\,+\,\Large\frac{h\sqrt{x}}{2}\large\,\cdot\,2\,+\,\Large\frac{H\sqrt{x}}{2}\large\,\cdot\,2\Longleftrightarrow S\,=\,x\,+\,\sqrt{x}\,\cdot\,(H\,+\,h)\Longleftrightarrow H\,+\,h\,=\,\Large\frac{S\,-\,x}{\sqrt{x}}\large\rightarrow\boxed{ II}[/tex3]

Temos também a seguinte relação:

• [tex3](H\,+\,h)^2\,-\,2Hh\,=\,H^2\,+\,h^2[/tex3]

Substituindo as equações [tex3]\boxed{I}\,\,\text{e}\,\,\boxed{II}[/tex3]:

• [tex3]H^2\,+\,h^2\,=\,\(\Large\frac{S\,-\,x}{\sqrt{x}}\)^2\,-\,\Large\frac{x}{2}\large \rightarrow \boxed{III}[/tex3]

Em [tex3]\triangle AOB[/tex3] temos, por pitágoras:

• [tex3]\(H\,+\,\Large\frac{\sqrt{x}}{2}\large\)^2\,+\,\(h\,+\,\Large\frac{\sqrt{x}}{2}\)^2\,=\,L^2[/tex3]
  
  [tex3]H^2\,+\,h^2\,+\,\sqrt{x}\,\cdot\,(H\,+\,h)\,+\,\Large\frac{x}{2}\large\,=\,L^2[/tex3]

Substituindo [tex3]\boxed{I}\,\,,\,\,\boxed{II}\,\cdot\,\sqrt{x}\,\,,\,\,\text{e}\,\,\boxed{III}[/tex3] na equação, temos:

• [tex3]\(\Large\frac{S\,-\,x}{\sqrt{x}}\)^2\,-\,\Large\frac{x}{2}\large\,+\,S\,-\,x\,+\,\Large\frac{x}{2}\large\,=\,L^2[/tex3]
  
  [tex3]\Large\frac{S^2\,-\,2Sx\,+\,x^2}{x}\large\,+\,\Large\frac{Sx\,-\,x^2}{x}\large\,=\,L^2[/tex3]
  
  [tex3]S^2\,-\,Sx\,=\,L^2x[/tex3]
  
  [tex3]S^2\,=\,x\,\cdot\,(S\,+\,L^2)\,\,\Longleftrightarrow\,\,\boxed{x\,=\,\Large\frac{S^2}{S\,+\,L^2}}[/tex3]