Ensino Superior ⇒ Limites: Teorema de L'Hospital

[aprendiz123]

Utilizando o teorema de L'Hospital, calcule:

[tex3]\lim_{n\to\infty}[/tex3] [tex3]\frac{\ell n(x^2+x+1)}{\ell n(x^3+2x+1)}[/tex3]

Resposta:

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[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

[jneto]

A indeterminação é do tipo [tex3]\frac{\infty}{\infty}[/tex3], aplicando a regra de L'Hospital temos:

• [tex3]\lim_{x\to\infty} \frac{\ell n(x^{2} + x + 1)}{\ell n(x^{3} + 2x + 1)} = \lim_{x\to\infty} \frac{(2x + 1)(x^{3} + 2x + 1)}{(3x^{2} + 2)(x^{2} + x + 1)}[/tex3]

Agora, dividindo numerador e denominador por [tex3]x^{4}[/tex3]:

• [tex3]\lim_{x\to\infty} \ \large\frac{(2 + \large\frac{1}{x})(1 + \large\frac{2}{x^{2}} + \large\frac{1}{x^{3}})} {(3 + \large\frac{2}{x^{2}})(1 + \large\frac{1}{x} + \large\frac{1}{x^{2}})} = \frac{2}{3}[/tex3]

A regra somente é necessária no primeiro passo para se calcular o limite, depois, é mais prático o enfoque que usei.