Ensino Médio ⇒ Princípio da Indução Finita, Gelson Iezzi Tópico resolvido

[MatheusBorgesMOD]

Questão: A.85 LIVRO 1(Conjunto e Funções)

[tex3]1^3+2^3+3^3+...+n^3>n^4/4[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá MafIl10,

Utilizando o Princípio da Indução Finita (PIF), provamos primeiro se a proposição é válida para [tex3]n=1[/tex3]:

[tex3]1^3>\frac{1^4}{4}[/tex3]

[tex3]1>\frac{1}{4}[/tex3], esta desigualdade é verdadeira.

Ok, a proposição é válida para [tex3]n=1[/tex3]. Primeiro passo do PIF finalizado.

O segundo passo é fazer a hipótese de que a proposição vale para [tex3]k[/tex3]:

[tex3]\boxed{1^3+2^3+3^3+...+k^3>\frac{k^4}{4}}[/tex3] é válido!

O terceiro passo é tentar provar, usando a hipótese acima, que a proposição é válida para [tex3]k+1[/tex3]:

[tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3\stackrel{?}{>}\frac{(k+1)^4}{4}[/tex3]

[tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3\stackrel{?}{>}\frac{(k+1)^4}{4}-(k+1)^3[/tex3]

Desenvolvendo o lado direito desta desigualdade:

[tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3\stackrel{?}{>}\frac{k^4}{4}-\frac{6k^2}{4}-\frac{8k}{4}-\frac{3}{4}[/tex3]

Se nós provarmos que a desigualdade acima é verdadeira, então provamos que a proposição do terceiro passo é válida e finalizamos o PIF.

Note que o lado esquerdo da desigualdade acima é exatamente a nossa hipótese. Ou seja, o lado esquerdo da desigualdade é maior que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3]. E o lado direito é menor que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3], pois pegamos o [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] e diminuímos valores positivos, tornando-o menor que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3].

Se temos algo maior que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] do lado esquerdo, e algo menor que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] do lado direito, então podemos garantir que o lado esquerdo É maior que o lado direito da desigualdade, como queríamos demonstrar.

Grande abraço,
Prof. Caju

[Ronny]

Ola MafIl10,

Estou vendo Inducao tambem, ehehhe. O exercicio 'e bem simples, simples deve seguir o Algoritmo de uma PIM( principio de inducao Matematica), ou seja:

* 1.O Temos que usar a base indutiva, experimentando para um determinado [tex3]n=1[/tex3], assim teremos [tex3]1^{3}>\frac{1^3}{4}[/tex3] ( Esse argumento 'e verdadeiro !)

* 2.O Vamos avaliar a hipotese indutiva, ou seja para [tex3]n=k[/tex3], assim teremos [tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3>k^4/4[/tex3], Considerando que esta Hipotese seja verdadeira, vamos a nossa Tese indutiva:

3.o Vamos avaliar a nossa Tese indutiva, dada por [tex3]n=k+1[/tex3], assim teremos: [tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3>(k+1)^4/4[/tex3], e nos sabemos que por nossa Suposicao=Hipotese(dado)--> [tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3>k^4/4[/tex3], entao teremos [tex3]P(k+1): \{ k^4/4 + (k+1)^3 > \frac{(k+1)^{4}}{4} \}[/tex3], logo concluimos que qualquer se seja o valor de [tex3]k [/tex3] natural, ele respeita essa desigualidade, tornando a nossa proposicao como verdadeira, e assim C.Q.D.

Ronaldo Miguel...

[LucasPinafiMOD]

1- Para n =1 é verdadeiro
2- Suponha que seja para n =k: [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 +\cdots + k^3 > k^4/4 [/tex3]
3- Então, será verdadeira para n = k+1: [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 > (k+1)^4/4 [/tex3]
Subtraindo as duas últimas equações, [tex3](k+1)^3 > \frac 1 4 [(k+1)^4 - k^4] [/tex3]
[tex3]4(k^3 + 3k^2 + 3k +1)> 4k^3 +6k^2 +4 k + 1 \therefore 6k^2 +8k+3>0 [/tex3]
Seja [tex3]6x^2 + 8x + 3 =0 \Longrightarrow \Delta = 64- 72< 0 [/tex3]
o que mostra que [tex3]6k^2 + 8k+3>0[/tex3]. Todas essas passagens são reversíveis, então chegamos em [tex3]1^3 + 2^3 +\cdots + k^3 +(k+1)^3 >
(k+1)^4/4[/tex3], como queríamos mostrar.
Pelo P.I.F. segue que a desigualdade é verdadeira para todo n natural maior ou igual a 1.

[MatheusBorgesMOD]

n formas de resolver, interessante... muito obrigado pessoal!!!