Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1965) Progressão Geométrica

[ALDRINMOD]

Toda progressão geométrica:

a) é uma série convergente.
b) é uma série divergente.
c) é uma série geométrica.
d) é uma série aritmética.
e) em caso algum é uma série.

[Karl Weierstrass]

Por definição, uma soma indicada, de todos os termos de uma sequência infinita [tex3]\{a_n\},[/tex3] tal como

• [tex3]a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots,[/tex3]

é chamada de série infinita, ou simplesmente de série.

Fonte: MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. 2. Rio de Janeiro: Guanabara. 1986.

Portanto, a alternativa correta é a letra (e).

[fabit]

Permita-me discordar, nobre colega Karl.

Minha interpretação do que está escrito na letra (e) é que seria impossível uma seqüência geométrica seja uma série.

Ocorre, no entanto, que toda seqüência é série e toda série é seqüência.

Meu palpite é que o correto é a opção (c).

Uma progessão geométrica [tex3](a,aq,aq^2,aq^3,\cdots)[/tex3] pode ser interpretada como uma série, bastando fazer

• [tex3]\begin{cases}b_1=a\\b_2=aq-a\\b_3=aq^2-aq\\b_4=aq^3-aq^2\\\vdots\\b_n=aq^{n-1}-aq^{n-2}\\\vdots\end{cases}[/tex3]

A série [tex3]\sum b_n[/tex3] é chamada série telescópica e é idêntica à seqüência dos [tex3]a_n.[/tex3] Além disso, [tex3]\frac{b_{n+1}}{b_n}=q,\forall n\geq2[/tex3] e portanto a série é geométrica (sempre com a mesma razão da seqüência correspondente) a partir do segundo termo.

Na verdade, como é só a partir do segundo termo, a (c) também está errada, mas a menos que se inclua a palavra "geométrica" após a palavra "série" na alternativa (e), a (c) fica menos pior.

Concorda?

[Karl Weierstrass]

Olá fabit,

Utilizando como base a mesma fonte da mensagem anterior, corroborada pelas definições de Série e Sequência apresentadas no livro Análise Real do Prof. Elon Lages Lima, a diferença entre série e sequência, é que uma série é a soma dos termos de uma sequência. E como a definição de progressão geométrica difere da definição de Série, mantenho a letra (e).

[ ]´s.