IME / ITA ⇒ (EsPCEx) Geometria Espacial: Cone e Esfera Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um plano corta uma esfera de raio [tex3]R[/tex3] de modo que a área da menor calota formada seja igual a [tex3]m[/tex3] vezes a área lateral do cone cujo vértice é o centro da esfera e cuja base é o círculo que serve de base à calota. A distância [tex3]d[/tex3] do centro da esfera ao plano é dada por:

a) [tex3]d=R\frac{4-m^2}{4+m^2}.[/tex3]
b) [tex3]d=R\(\frac{4-m}{4+m}\)^2.[/tex3]
c) [tex3]d=R\frac{4+m^2}{4-m^2}.[/tex3]
d) [tex3]d=R\(\frac{4+m}{4-m}\)^2.[/tex3]
e) [tex3]d=R\frac{m^2-4}{m^2+4}.[/tex3]

Resposta:

---

(a)

[adrianotavares]

• Área da calora esférica: [tex3]2\pi Rh[/tex3]
  [tex3]r:[/tex3] raio da base da calota
  [tex3]R:[/tex3] raio da esfera
  [tex3]d:[/tex3] distância do centro da esfera ao plano
  Área lateral do cone: [tex3]\pi r g[/tex3]
  A geratriz do cone é igual o raio da esfera: [tex3]g = R[/tex3]

Aplicando pitágoras no triângulo retângulo formado pela área da base da calota, a distância [tex3]d[/tex3] e o raio da esfera [tex3]R[/tex3] temos:

• [tex3]R^2 = r^2+ d^2[/tex3]
  [tex3]r^2= R^2 - d^2[/tex3] 1ª equação

• [tex3]d + h = R[/tex3]
  [tex3]h = (R - d)[/tex3] 2ª equação

A área da calota é [tex3]m[/tex3] vezes a área lateral do cone então temos:

• [tex3]2\pi R h = m \pi r R[/tex3]
  [tex3]2h = rm[/tex3] 3ª equação

Substituindo a 2ª equação na terceira temos:

• [tex3]2(R - d) = rm[/tex3] 4ª equação

Elevando a 4ª equação ao quadrado e substituindo na 1ª equação

• [tex3]4(R - d)^2 = m^2(R^2 - d^2)[/tex3]
  [tex3]4(R - d)(R - d) = m^2(R + d)(R - d)[/tex3]
  [tex3]4R - 4d = m^2 R + m^2 d[/tex3]
  [tex3]4R - m^2 R = m^2 d + 4d[/tex3]
  [tex3]R(4 - m^2 ) = d(m^2 + 4)[/tex3]
  [tex3]d =R\frac{(4 - m^2 )}{4 + m^2 }[/tex3]

alternativa: a

[cajuADMIN]

Olá a todos,

Uma imagem diz mais que mil palavras.

Para complementar a resolução do adrianotavares, adiciono uma imagem referente ao enunciado.

calota.GIF (3.33 KiB) Exibido 3504 vezes

A parte amarela é a calota mencionada e a parte verde é a área lateral do cone mencionado.

[adrianotavares]

Professor Caju, obrigado por colocar a imagem, pois ainda eu não sei.
Um abraço !