Pré-Vestibular ⇒ (FGV) Trigonometria: Equação Trigonométrica

[barbarahass]

Se [tex3]a[/tex3] é a menor raiz positiva da equação [tex3](\tg x-1).(4\cdot \sen^{2}x-3)=0[/tex3] então, o valor de [tex3]\sen^4 a - \cos ^2 a[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{5}{16}[/tex3]
b) [tex3]0[/tex3]
c) [tex3]-\frac{1}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
e) [tex3]{-}\frac{1}{2}[/tex3]

Resposta:

---

C

[triplebig]

Temos dois casos:


[tex3]\begin{cases} \tg x\,-\,1\,=\,0 \\ \text{ou} \\ 4\cdot\sen ^2x\,-\,3\,=\,0\end{cases}[/tex3]


No primeiro:


[tex3]\text{tg}x\,=\,1\,\,\Longleftrightarrow\,\,x\,=\,\frac{\pi}{4}\,+\,2k\pi \,\,\,,\,\,\forall \,k\,\in\,N\,\,\Longrightarrow\,\,\boxed{a\,=\,\frac{\pi}{4}}[/tex3]


No segundo:


[tex3]\sen ^2x\,=\,\frac{3}{4}\,\,\Longleftrightarrow\,\,x\,=\,\frac{\pi}{3}\,+\,2k\pi\,\,\Longrightarrow\,\,\boxed{a'\,=\,\frac{\pi}{3}}[/tex3]


Com isso, devemos ver qual das raízes [tex3]a[/tex3] e [tex3]a'[/tex3] é menor. Como a função seno é estritamente crescente no intervalo de [tex3]0[/tex3] a [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] , temos que [tex3]\boxed{a\,=\,\frac{\pi}{4}}[/tex3]


Agora é só subsituir, lembrando que [tex3]\cos\,\frac{\pi}{4}\,=\,\sen \frac{\pi}{4}\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]


[tex3]\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)^4\,-\,\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)^2\,=\,\frac{4}{16}\,-\,\frac{8}{16}\,=\,\boxed{-\frac{1}{4}}[/tex3]


Letra [tex3]\boxed{C}[/tex3]