Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear: Base de um Subespaço Vetorial Tópico resolvido

[naallavoej]

Seja [tex3]S[/tex3] o subespaço do [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3] gerado pelos vetores [tex3](-1, 4, 3),[/tex3] [tex3](2, 0, 1),[/tex3] [tex3](1, 4, 4)[/tex3] e [tex3](-2, 8, 6).[/tex3] Ache uma base para [tex3]S.[/tex3]

Voltando o assunto sobre base no subespaço, vou fazer um exercicio e mudar o contexto, na hora que eu pensei nisto eu me embananei.
Eu me embanano quando troca [tex3]\mathbb{R}^4[/tex3] por [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3] e vice versa.

[jneto]

Como se trata do [tex3]\mathbb{R}^{3},[/tex3] o subespaço [tex3]S[/tex3] só pode ter dimensão [tex3]n \leq 3.[/tex3] Como temos [tex3]4[/tex3] vetores geradores, se trata de um conjunto LD, de fato:

• [tex3]u_{1} = (-1,4,3) \\
  u_{2} = (2,0,1) = u_{3} - u_{1} \\
  u_{3} = (1,4,4) \\
  u_{4} = (-2,8,6) = 2(-1,4,3) = 2u_{1}[/tex3]

Portanto, sobraram [tex3]u_{1}[/tex3] e [tex3]u_{3}[/tex3], mostremos que o mesmo é um conjunto LI

• [tex3]au_{1} + bu_{3} = a(-1,4,3) + b(1,4,4) = (-a+b,4a+4b,3a+4b) = (0,0,0)[/tex3]

Donde temos que:

• [tex3]\begin{cases}a - b = 0 \\ a + b = 0 \end{cases} \Rightarrow a = b = 0[/tex3]

Portanto o conjunto gerador

• [tex3]E = \{u_{1},u_{3}\}[/tex3]

é LI (uma base para [tex3]S[/tex3]), e [tex3]\dim S = 2[/tex3]

[naallavoej]

Entendi a resposta, tentei fazer de uma outra forma não sei se é certa.

Se colocarmos os vetores em uma matriz e escalonarmos chegará a um tal resultado que os vetores não nulos formarão uma base.

• [tex3]\left[\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -2 & 8 & 6\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 3 \\ 0 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right][/tex3]

Base: [tex3]\{(-1,4,3), (0,8,7)\}[/tex3] está certo o que eu fiz?