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Determine a equação de uma reta que seja tangente à curva da função dada no ponto especificado.
GABARITO: y=[tex3]\frac{9x}{2}[/tex3]-[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

f(x)= 2 [tex3]x^{4} - \sqrt{x} + \frac{3}{x}[/tex3]; (1,4)

Olá.

Primeiro calcule a derivada de f(x) em relação a x (essa derivada será o coeficiente angular da reta tangente a curva)

[tex3]\frac{df(x)}{dx} = 8x^3 - \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}} -3\frac{1}{x^2}[/tex3]
Em x = 1, temos
[tex3]\frac{df(x)}{dx} = 8(1)^3 - \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(1)}} -3\frac{1}{(1)^2} = \frac{9}{2}[/tex3]

A equação da reta tangente a curva é:

[tex3]y = ax + b[/tex3], [tex3]a = \frac{df(x)}{dx}[/tex3], então
[tex3]y = \frac{9}{2}x + b[/tex3], aplique o ponto (1,4), e obtenha [tex3]b = -\frac{1}{2}[/tex3]

A equação da reta tangente a curva será

[tex3]y = \frac{9}{2}x - \frac{1}{2}[/tex3]

Espero ter ajudado!

Resolução:
[tex3]f(x)=2x^{4}-\sqrt{x}+\frac{3}{x}[/tex3]
[tex3]f'(x)=8x^{3}-\frac{1}{2\sqrt{x}}+(-\frac{3}{x^{2}})[/tex3]
[tex3]f'(x)=8x^{3}-\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{x^{2}}[/tex3]
[tex3]f'(1)=8.1^{3}-\frac{1}{2\sqrt{1}}-\frac{3}{1^{2}}[/tex3]
[tex3]f'(1)=8-\frac{1}{2}-3\rightarrow f'(1)=\frac{9}{2}[/tex3]
A reta procurada passa pelo ponto (1,4) e tem coeficiente angular m=f'(1)=9/2,logo sua equação é:
[tex3]y-y_{0}=f'(1)(x-x_{0})[/tex3]
[tex3]y-4=\frac{9}{2}(x-1)[/tex3]
[tex3]y=\frac{9}{2}x-\frac{9}{2}+4[/tex3]
[tex3]y=\frac{9}{2}x-\frac{1}{2}[/tex3]
Espero que já tenha estudado as regras de derivação,pois fiz diretamente ,usando tais regras.

Olá. Agradeço a ajuda. O processo em si como um todo estou sabendo.
Entretanto, nesta questão fiquei em dúvida exatamente na derivação de [tex3]\sqrt{x}[/tex3] e na derivação [tex3]\frac{3}{x}[/tex3]

Boa noite!
Esclarecendo sua dúvida,tanto a derivação de [tex3]\sqrt{x}[/tex3],como de [tex3]\frac{3}{x}[/tex3] são idênticas,observe:
Aqui usamos a seguinte regra de derivação:[tex3]f(x)=x^{n}\rightarrow f'(x)=nx^{n-1}[/tex3].Na questão dada temos:
[tex3]g(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\rightarrow g'(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]h(x)=\frac{3}{x}=3x^{-1}\rightarrow h'(x)=-3x^{-2}=-\frac{3}{x^{2}}[/tex3]

Espero ter ajudado!