Ensino Médio ⇒ Desigualdade triangular Tópico resolvido

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Observe a figura a seguir.

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Demonstre que p < x + y + z < 2p.

Consegui demonstrar que x + y + z é maior que o semiperímetro, mas não consegui provar que é menor que o perímetro.
Vi em algum lugar que x < b, y < c e z < a, mas não consigo provar/demonstrar essas relações. Alguém pode me ajudar?

[cajuADMIN]

Olá hoodoomends,

Veja o seguinte raciocínio. Saindo do ponto [tex3]A[/tex3] e indo para o ponto [tex3]C[/tex3], podemos pegar os caminhos [tex3]AC[/tex3], ou [tex3]AP-PC[/tex3] ou [tex3]AB-BC[/tex3]. Como o ponto [tex3]P[/tex3] está dentro do triângulo [tex3]ABC[/tex3], podemos concluir que [tex3]b < x+z < a+c[/tex3].

Com este mesmo raciocínio, temos as seguintes desigualdades:

[tex3]\begin{cases}b<x+z<a+c\\a<y+z<b+c\\c<x+y<a+b\end{cases}[/tex3]

Somando as três linhas acima, temos:

[tex3]a+b+c < 2(x+y+z) < 2(a+b+c)[/tex3]

Dividindo tudo por [tex3]2[/tex3]:

[tex3]\frac{a+b+c}{2} < x+y+z < a+b+c[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{p < x + y + z < 2p}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju