Ensino Superior ⇒ 1º Período –Engenharia Civil - Limites e Derivadas 3

[ramonhs]

3. Determine o domínio da função: [tex3]\frac{\sqrt{2x-x^2}}{\sqrt{2-x-x^2}}[/tex3]

[leomaxwell]

Olá,
Lembrando da condição de existência de raízes de índice par ([tex3]\sqrt{x}[/tex3] se [tex3]x\geq0 )[/tex3]), devemos ter:
i)[tex3]2x-x^2\geq 0[/tex3]
Vamos fazer a análise dos sinais da equação [tex3]2x-x^2= 0[/tex3]
[tex3]\Delta =2^2-4\cdot(-1)\cdot0[/tex3]
[tex3]\Delta =4[/tex3]
[tex3]x=\frac{-2\pm 2}{-2}[/tex3]
[tex3]x_1=0[/tex3] ou [tex3]x_2=2[/tex3]
Da análise de sinais, concluímos que os valores de [tex3]x[/tex3] que satisfazem [tex3]2x-x^2\geq 0[/tex3] são [tex3]0\leq x\leq 2[/tex3] (A)

Além disso, o denominador não pode ser 0, então:
ii)[tex3]2-x-x^2>0[/tex3]
Vamos fazer a análise dos sinais da equação [tex3]2-x-x^2=0:[/tex3]
[tex3]\Delta =(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot2[/tex3]
[tex3]\Delta =9[/tex3]
[tex3]x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2(-1)}[/tex3]
[tex3]x=\frac{1\pm3}{-2}[/tex3]
[tex3]x_1=1[/tex3] ou [tex3]x_2=-2[/tex3]
Da análise de sinais, concluímos que os valores de [tex3]x[/tex3] que satisfazem [tex3]2-x-x^2>0[/tex3] são [tex3]-2< x< 1[/tex3] (B)

A solução final S é dada por [tex3]A\cap B[/tex3], logo, o domínio se restringe a [tex3]0\leq x<1[/tex3]
Em outra palavras: [tex3]D=[0;1[[/tex3], ou ainda [tex3]D=\{x\in \mathbb{R}|0\leq x<1\}[/tex3]