Estude! Com Prof. Caju

Num triângulo [tex3]ABC[/tex3] é dado [tex3]X[/tex3] sobre [tex3]AB[/tex3] tal que [tex3]\left\|\vec{AX}\right\|=2\left\|\vec{XB}\right\|[/tex3] e é dado [tex3]Y[/tex3] sobre [tex3]BC[/tex3] tal que [tex3]\left\|\vec{BY}\right\|=3\left\|\vec{YC}\right\|[/tex3]. Mostre que as retas [tex3]CX[/tex3] e [tex3]AY[/tex3] se cortam. Suponha [tex3]\vec{XC}=\lambda\vec{AY}[/tex3] e chegue a um absurdo.

Olá, jovem.
Para que os segmentos não se encontrem eles devem ser paralelos, ou seja, [tex3]\vec{XC}=\lambda\vec{AY}[/tex3]. Então,


[tex3]\vec{XB}+\vec{BC}=\lambda\left(\vec{AB}+\vec{BY}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{1}{4}\,\vec{AB}+\vec{BC}=\lambda\left(\vec{AB}+\frac{3}{4}\,\vec{BC}\right)[/tex3]

[tex3]\left(\lambda -\frac{1}{4}\right)\vec{AB}+\left(\frac{3\lambda}{4}-1\right)\vec{BC}=0[/tex3]

Como [tex3]\vec{BC}[/tex3] e [tex3]\vec{AB}[/tex3] são linearmente independente, essa equação somente seria satisfeita se

[tex3]\left(\lambda -\frac{1}{4}\right)=\left(\frac{3\lambda}{4}-1\right)=0[/tex3]

O que é impossivel, pois não haveria um valor de [tex3]\lambda[/tex3] que satisfaça as duas equações.

Portanto, os segmentos não são paralelos.

Espero ter ajudado. Abraço.