Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense – 2003) Hexágono Regular Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Seja [tex3]P[/tex3] um ponto no interior de um hexágono regular com lados de comprimento um. Os segmentos que unem [tex3]P[/tex3] a dois vértices têm comprimento [tex3]\frac{13}{12}[/tex3] e [tex3]\frac{5}{12},[/tex3] respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos unindo [tex3]P[/tex3] aos outros vértices do hexágono.

[Beastie]

Para um hexágono regular [tex3]ABCDEF[/tex3] de lado [tex3]1[/tex3], existem três medidas pra segmentos que unem vértices:

* [tex3]m=1[/tex3] (vértices consecutivos);
*[tex3]m=\sqrt{2+\sqrt{3}}=1,93[/tex3] (vértices [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3], por ex.); e
*[tex3]m=2[/tex3] (vértices diametralmente opostos).

Como [tex3]a+b>c[/tex3] para quaisquer lados [tex3]a[/tex3],[tex3]b[/tex3],[tex3]c[/tex3] de um triângulo, então, pro triângulo formado pelos segmentos que unem [tex3]P[/tex3] aos vértices e estes entre si:

[tex3]\frac{13}{12}+\frac{5}{12}=1,5>m[/tex3]

Daí, [tex3]m=1[/tex3], melhor, [tex3]P[/tex3] está ligado a dois vértices consecutivos [tex3]A[/tex3] e [tex3]F[/tex3].

Percebe-se agora que [tex3]\(\frac{5}{12}\)^2+1^2=\(\frac{13}{12}\)^2[/tex3], ou seja, [tex3]AFP[/tex3] é retângulo em [tex3]F[/tex3].

Com isso, é possível pôr [tex3]P[/tex3] e os vértices do hexágono em um plano cartesiano:

[tex3]A(0,\frac{\sqrt{3}}{2})[/tex3] ; [tex3]B(\frac{1}{2},0)[/tex3] ; [tex3]C(\frac{3}{2},0)[/tex3] ; [tex3]D(2,\frac{\sqrt{3}}{2})[/tex3] ; [tex3]E(\frac{3}{2},\sqrt{3})[/tex3] ; [tex3]F(\frac{1}{2},\sqrt{3})[/tex3] ; e [tex3]P(\frac{5\sqrt{3}}{24},\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5}{24})[/tex3]

Calculando ''na marra'':

[tex3]PA=\frac{5}{12}[/tex3] ;[tex3]PB=\frac{\sqrt{169-60\sqrt{3}}}{12}[/tex3] ;[tex3]PC=\frac{\sqrt{457-120\sqrt{3}}}{12}[/tex3]; [tex3]PD=\frac{\sqrt{601-60\sqrt{3}}}{12}[/tex3] ;e [tex3]PE=\frac{\sqrt{457-60\sqrt{3}}}{12}[/tex3] ;[tex3]PF=\frac{13}{12}[/tex3] .