Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica-Razão entre segmentos(conjugado harmônico) Tópico resolvido

[leomaxwell]

Os quatro pontos [tex3]A(\alpha)[/tex3], [tex3]B(\beta)[/tex3], [tex3]c(\gamma)[/tex3] e [tex3]D(\delta)[/tex3], distintos dois a dois, são tais que [tex3]\alpha [/tex3] e [tex3]\beta [/tex3] são as raízes da equação
[tex3]ax^2+2hx+b=0[/tex3]
e [tex3]\gamma [/tex3] e [tex3]\delta [/tex3] são as raízes da equação
[tex3]a'x^2+2h'x+b'=0[/tex3]
Mostre que se [tex3]ab'+a'b=2hh'[/tex3], então [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] são conjugados harmônicos em relação a [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3].

[LucasPinafiMOD]

1) C e D são conjugados harmônicos em relação a A e B
2) [tex3]\frac{CA}{CB} = \frac{DA}{DB}[/tex3]
3) Sem perda de generalidade, suponha que [tex3]\gamma < \alpha< \beta < \delta [/tex3]
4) [tex3]\frac{\alpha - \gamma }{\beta - \gamma } = \frac{\delta - \alpha }{\beta- \delta } \Longrightarrow 2(\gamma \delta + \alpha \beta ) = (\alpha + \beta)(\gamma + \delta ) [/tex3]
5) [tex3]\alpha + \beta = - \frac{2h} a \ \ \text{e }\alpha \beta = \frac b a [/tex3]
6) [tex3]\gamma + \delta = -\frac{2h'} {a'} \ \ \text{e } \gamma \delta = \frac{b'}{a'} [/tex3]
7) [tex3]2\cdot \left(\frac{b}{a} + \frac{b'}{a'} \right) = \frac{2h}{a}\cdot \frac{2h'}{a'} \Longrightarrow a'b+ab' = 2hh' [/tex3]
8 ) Os passos são todos reversíveis.
9) Está provado o que se propôs inicialmente.