Ensino Médio ⇒ (Escola Naval-2004)- Funções Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

Assinale a alternativa que apresenta os valores de a para os quais o sistema de desigualdades -3 < x^2+ ax -2/x^2 -x +1 <2 é satisfeito para todos os vatores reais de x.

a)-6 <a <7
b)-6 <a<2
c)-1 <a <7
d)-1 <a <2
e) nra

[MatheusBorgesMOD]

é [tex3]\frac{2}{x^{2}}[/tex3] ou [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]?

[leomaxwell]

Olá,
temos [tex3]-3<\frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1}<2[/tex3]
Primeiro, perceba que para [tex3]x^2-x+1[/tex3] é positivo qualquer seja [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3] ([tex3]\forall x, x\in \mathbb{R}, x^2-2+1>0[/tex3]), vai ser uma informação útil no futuro
Agora, vamos ''desmontar'' e inequação e colocá-las na forma de sistema:
[tex3]\begin{cases}
\frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1}>-3 \ \ (I)\\
\frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1} <2 \ \ (II)
\end{cases}[/tex3]

Em (I):
[tex3]\frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1}>-3 [/tex3]
[tex3]\frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1}+3>0 [/tex3]
[tex3]\frac{x^2+ax-2+3(x^2-x+1)}{x^2-x+1}>0 [/tex3]
Como sabemos que o denominador é positivo, podemos ''cortá-lo'' sem correr o risco do sinal da inequação se inverter, logo:
[tex3]4x^2+(a-3)x+1>0[/tex3]
Lembrando que se em uma função quadrática [tex3]f(x)=ax^2-bx+c[/tex3], temos que quando [tex3]\Delta <0[/tex3] e [tex3]a>0[/tex3], [tex3]f(x)>0[/tex3]. Por outro lado, se [tex3]\Delta <0[/tex3] e [tex3]a<0[/tex3] então [tex3]f(x)<0[/tex3]. Sabendo disso devemos ter:
[tex3](a-3)^2-4\cdot4\cdot 1<0[/tex3]
[tex3](a-3)^2-4^2<0[/tex3]
Por fatoração:
[tex3](a-7)(a+1)<0 \Longleftrightarrow -1< a < 7 \ \ (A)[/tex3]

Em (II):
[tex3]\frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1} <2[/tex3]
[tex3]\frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1}-2 <0 [/tex3]
[tex3]\frac{x^2+ax-2-2(x^2-x+1)}{x^2-x+1} <0 [/tex3]
Multiplicando os dois lados por [tex3]x^2-x+1[/tex3], vem:
[tex3]-x^2+(a+2)x-4<0[/tex3]
Pelo motivo explicado em (I), devemos ter:
[tex3](a+2)^2-4\cdot(-1)\cdot(-4)<0[/tex3]
[tex3](a+2)^2-4^2<0[/tex3]
Por fatoração:
[tex3](a-2)(a+6)<0 \Longleftrightarrow -6 < a < 2 \ \ (B)[/tex3]

Por fim, fazendo a interseção de [tex3](A)[/tex3] com [tex3](B)[/tex3] teremos [tex3]-1< a < 2[/tex3], letra d)
Acho que é isso

[RinaldoEN19]

Leo é isso mxm , mt Obrigado