Ensino Médio ⇒ Dúvida em função do 2° grau (Aref 1) Tópico resolvido

[leomaxwell]

Olá,
Acabei de começar no Noções de matemática um tópico chamado "posição de um número em relação às raízes de uma equação do 2° grau". Aí o livro começa:
Teorema:
Se [tex3]a\cdot f(\alpha) \geq 0[/tex3], então [tex3]f[/tex3] admite dois zeros distintos, [tex3]x_1 < x_2[/tex3] e [tex3]x_1 < \alpha < x_2[/tex3]
Demonstração:
Se fosse [tex3]\Delta \leq 0[/tex3] teríamos [tex3]f(\alpha)=0[/tex3] ou [tex3]f(\alpha)[/tex3] com o mesmo sinal de [tex3]a[/tex3], isto é, [tex3]af(\alpha)<0[/tex3], o que contraria a hipótese [tex3]af(\alpha) <0[/tex3]; então [tex3]\Delta >0[/tex3] e [tex3]f[/tex3] admite dois zeros [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] distintos. Admitamos [tex3]x_1 < x_2[/tex3]. [...]

Não consegui entender algumas coisas:
1) Por que ele decidiu fazer uma hipótese com [tex3]a[/tex3] multiplicando [tex3]f(\alpha)[/tex3]??
2) "Se fosse [tex3]\Delta \leq 0[/tex3] teríamos [tex3]f(\alpha)=0[/tex3] ou [tex3]f(\alpha)[/tex3] com o mesmo sinal de [tex3]a[/tex3]", não entendi pq se [tex3]\Delta =0[/tex3] teríamos [tex3]f(\alpha) = 0[/tex3]
3) Se [tex3]a[/tex3] e [tex3]f(\alpha) [/tex3] tem o mesmo sinal, não deveria ser [tex3]af(\alpha)>0[/tex3]?
4) "o que contraria a hipótese [tex3]af(\alpha) <0[/tex3]", a hipótese não era [tex3]a\cdot f(\alpha) \geq 0[/tex3]?

Desculpa se esse não é o espaço pra esse tipo de pergunta, não sabia onde colocar. E muito obrigado desde já!

[MatheusBorgesMOD]

Leo você tem o FME aí? ele explica bem detalhado o porque de tudo.

[Killin]

na verdade é [tex3]a \cdot f(\alpha) \leq 0[/tex3]. tem um erro de digitação nessa parte.

o que ele quer dizer é o seguinte: se a função possui duas raízes, as imagens das abscissas que estão entre esses valores terão o sinal oposto de a, logo estando esse [tex3]\alpha [/tex3] entre as raízes, [tex3]a \cdot f(\alpha)\leq0[/tex3].

exemplo: se a função possuí duas raízes, e [tex3]a>0[/tex3], as imagens dos ''alphas'' que estão entre as raízes são negativas, certo? logo, [tex3]a \cdot f(\alpha) \leq0[/tex3].

se a<0, as imagens dos ''alphas'' que estão entre as raízes são positivas. logo, [tex3]a \cdot f(\alpha) \leq0[/tex3]

note que [tex3]a \cdot f(\alpha)=0 [/tex3] quando [tex3]f(\alpha)=0[/tex3]

[Killin]

tenta n se apegar mt à essa demonstração dele... o que ele quer dizer é basicamente o que te expliquei acima.
quando eu estudei essa parte também fiquei bem confuso com essa demonstração...

[MatheusBorgesMOD]

Embasamento: Fonte Iezzi.

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Se x1<x<x2
Veja[tex3]a.f(x)=a^{2}(x-x1).(x-x2)\rightarrow \frac{a.f(x)}{a}=\frac{a^{2}(x-x1).(x-x2)}{a}\rightarrow f(x)=a.(x-x1).(x-2)[/tex3]
Como x maior que x1 e menor que x2
[tex3]x-x1>0[/tex3]
[tex3]x-x2<0[/tex3]
Então

[tex3](x-x1).(x-2)<0[/tex3]
É fácil ver que se a for positivo a imagem é negativa e se a for negativo a imagem é positiva ou seja o inverso de a.
Exemplo a= -1
[tex3]y=-1.(x-x1).(x-2)<0[/tex3]
Como
[tex3](x-x1).(x-2)<0[/tex3]
Então:
[tex3]y>0[/tex3]

Agora, multiplicando por a [tex3]f(x)=a.(x-x1).(x-2)[/tex3].

[tex3]a.f(x)=a^{2}(x-x1).(x-x2)[/tex3].
[tex3]a^{2}[/tex3] é sempre positivo, vezes algo que é sempre negativo [tex3]\rightarrow [/tex3].
Se x1<x<x2
[tex3]a.f(x)<0[/tex3]

[leomaxwell]

Muito obrigado MafIl10 e Killin, vou dar uma olhada no iezzi sim