Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1968) Trigonometria: Identidade Trigonométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Mostrar que, sendo [tex3]\hat{A}, \hat{B}[/tex3] e [tex3]\hat{C}[/tex3] três ângulos tais que [tex3]\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 90^\circ,[/tex3] se tem

• [tex3]\text{tg} \hat{A} \cdot \text{tg} \hat{B} + \text{tg} \hat{B} \cdot \text{tg}\hat{C} + \text{tg}\hat{C} \cdot \text{tg} \hat{A} = 1.[/tex3]

[fabit]

Sendo [tex3]\hat{C}=90^\circ-\(\hat{A}+\hat{B}\)[/tex3], temos [tex3]\tan{\hat{C}}=\cot{\(\hat{A}+\hat{B}\)}=\frac{1-\tan{\hat{A}}\tan{\hat{B}}}{\tan{\hat{A}}+\tan{\hat{B}}}[/tex3] e aí a expressão dada fica:
(Para facilitar a vida, chamo [tex3]\alpha=\tan{\hat{A}}[/tex3] e [tex3]\beta=\tan{\hat{B}}[/tex3])

[tex3]\alpha\beta+\frac{1-\alpha\beta}{\cancel{\alpha+\beta}}\(\cancel{\alpha+\beta}\)=\cancel{\alpha\beta}+1-\cancel{\alpha\beta}=1[/tex3]

[ALDRINMOD]

Ok fabit valeu, vou postar a resolução que eu tenho:

Seja [tex3]A+B+C=90^\circ[/tex3]

então,

• [tex3]A+B=90-C[/tex3]
  [tex3]\text{tg}(A+B)=\text{tg}(90-C)[/tex3]
  [tex3]\text{tg}(A+B)=\frac{1}{\text{tg}C}[/tex3]

Mas [tex3]\text{tg}(A+B)=\frac{\text{tg}A+\text{tg}B}{1-\text{tg}A.\text{tg}B}[/tex3]

Substituindo, temos:

• [tex3]\frac{\text{tg}A+\text{tg}B}{1-\text{tg}A.\text{tg}B}=\frac{1}{\text{tg}C}[/tex3]

Ou seja,

• [tex3]\text{tg} A.\text{tg} C+\text{tg} B.\text{tg} C=1-\text{tg} A.\text{tg} B[/tex3]

Logo,

• [tex3]\text{tg} A.\text{tg} C+\text{tg} B.\text{tg} C+\text{tg} A.\text{tg} B = 1[/tex3]

Abracos,
Rogerio Ponce